Zeigen, dass homogenes lineares Gleichungssystem nur triviale Lösung besitzt

Question

Man zeige, dass das homogene lineare Gleichungssystem

ax + by = 0

cx + dy = 0

genau dann nur die triviale Läsung besitzt, wenn ad - bc ungleich 0

Lösung:

Ich zeige also 1), dass für alle Belegungen für a,b,c und d, für die ad - bc ungleich 0 gilt es nur die triviale Lösung gibt und 2) dass für alle Belegungen für a,b,,c und d, für die ad-bc = 0 gilt, es mehrere Lösungen gibt.

2) klar, für alle Fälle eliminiere ich entweder die ganze linke Seite und kann für x und y einsetzen, was ich will oder ich eliminiere eine Variable und bekomme dann (c,0) oder (0.c) die Lösung.

1) hier auch klar bis auf den Fall, dass alle Variablen nicht Null sind.

Will ich eine Variable eliminieren, bekäme ich beispielsweise (d - bc) y = 0. Ich muss also zeigen, dass (d-bc) nicht Null ist. Woher weiß ich das ?

Comments

Eliminiert man eine Variable,

so erhält man z.B (ad-bc)x=0

Answer 1

ax + by = 0   | *c

cx + dy = 0   | * -a

acx + bcy = 0

-acx  -ady = 0

Die letzten beiden addieren gibt

bcy    -ady = 0

y ( bc - ad ) = 0

eindeutig lösbar nur für  bc - ad ≠ 0

also auch ad - bc  ≠ 0 .