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H (0/3) und T(-3/0,3) ;bestimme die Funktionsgleichung dritten grades
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Hi, 

für eine Funktion 3. Grades brauchen wir 4 Informationen (für eine Funktion 2. Grades 3 Informationen, für eine Funktion 4. Grades 5 Informationen usw.).

Wir wissen, dass diese Funktion durch H geht, also

f(0) = 3

Außerdem geht sie durch T, also

f(-3) = 0,3

Da an H ein Hochpunkt ist, hat die Funktion an dieser Stelle den Anstieg 0, also

f'(0) = 0

Und an T ist ein Tiefpunkt ebenfalls mit dem Anstieg 0, also

f'(-3) = 0

Damit haben wir die benötigten 4 Informationen. 

Allgemeine Form einer Funktion 3. Grades:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Wir setzen unsere Informationen ein: 

f(0) = a*03 + b*02 + c*0 + d = 0 | also d = 0

f(-3) = a*(-3)3 + b*(-3)2 + c*(-3) + d = 0,3; also -27a + 9b - 3c + 0 = 0,3

f'(0) = 3a*02 + 2b*0 + c = 0 | also c = 0

f'(-3) = 3a*(-3)2 + 2b * (-3) = 0; also 27a - 6b = 0

Es hat sich also reduziert zu

-27a + 9b = 0,3

und

27a - 6b = 0

Addieren der beiden Gleichungen ergibt

3b = 0,3 | also b = 0,1

Das eingesetzt in 27a - 6b = 0:

27a - 0,6 = 0

27a = 0,6

a = 0,6/27 = 1/45

Die Funktionsgleichung sollte also lauten:

f(x) = 1/45 * x3 + 0,1 * x2

Da H ein Hochpunkt ist, muss gelten:

f''(0) < 0

Und entsprechend muss wegen T gelten:

f''(-3) > 0

Das ist mit den gefundenen Werten nicht gegeben. Aus diesem Grund müssen noch die Vorzeichen geändert werden zum Endergebnis 

f(x) = -1/45 * x3 - 0,1 * x2

Besten Gruß

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f(x) = ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c

f(0)=3          | d=3
f'(0)=0         | c=0
f(-3)=0,3    | -27a+9b+3=0,3
f'(-3)=0       | 27a-6b=0

GLS lösen:
a = -1/5
b = -9/10

Funktionsgleichung: f(x) = -1/5x3-9/10x2+3

 

-Hotspott

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