Differentialgleichung Bakterienpopulation u'(t) = gamma - deltaT(t)) u(t)

Question

wie ist der Lösungsweg folgender AUfgabe? Lösungen sind unten angegeben.

Bakterienpopulation wird einem Toxin ausgesetzt. Dabei sei die durch T bewirkte Todesrate sowohl proportional der Anzahl u(t) der zum Zeitpunkt t noch lebenden Bakterien wie auch proportional der Menge T(t) des zu dieser Zeit vorhandenen Toxins. Die natürliche Vermehrung der Bakterien bei Abwesenheit von T erfolge exponentiell, sodass insgesamt folgendes gilt:

u'(t) = (γ-δT(t)) u(t) mit positiven Konstanten γ und δ.

Sei nun T(t) =at, mit einer Konstanten a>0.

a) Begründe aus der Differentialgleichung, dass die Bakterienpopulation bis zur Zeit γ/(aδ) noch wachsen, dann aber abnehmen wird.

b) Ermittle aus der Lösung der Differentialgleichung für U(0) = u_0.

LÖSUNGEN:

a) u'(t)=0  --> γ-δT(t)=0 und mit T(t) =at folgt t = γ/δa

b) u(t) = u₀e^{γt - 1/2 δat^2}  mit γ: growth undδ: decay

Ich wäre sehr dankbar für einen ausführlichen Lösungsweg.

Answer 1

u'(t)=0  -->   u'(t) = (γ-δT(t)) u(t) = 0 

                     (γ-δT(t)) u(t)  = 0 
          (γ-δT(t)) = 0    oder    u(t)   = 0

Da Lezteres nicht sein soll        (γ-δT(t)) = 0

                        γ-δT(t)=0

                              γ=   δT(t)

mit T(t) =at folgt     γ=   δ * a * t   also    t = γ/δa