Abbildung die injektiv ist, aber nicht surjektiv.

Question

ich suche eine lineare Abbildung f : N->R die injektiv aber nicht surjektiv ist.

Wäre das in diesem Fall nicht schon die Identität f(x)=x ?

Answer 1

Wäre das in diesem Fall nicht schon die Identität f(x)=x ?

ja. Das passt.

Comments

Wenn \(N\) und \(R\) Vektorräume sind und \(R\) höherdimensional ist als \(N\) leuchtet mir das ein.

Ist aber auch eine lineare Abbildung vorstellbar, bei der Definitions- und Zielmenge gleiche Dimensionen haben und die trotzdem nicht surjektiv ist?

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Ich nehme an, dass der Gast ℕ und ℝ gemeint hatte.

Allerdings habe ich mich schon gefragt, welches "linear" genau gemeint ist. Wohl am ehesten: https://www.matheretter.de/wiki/lineare-funktionen

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@WS :
Im ersten Satz fehlt die Vorausetzung, dass N Untervektorraum von R ist.
Die Antwort auf die Frage lautet "ja", falls nicht vorausgesetzt wird, dass die Dimension endlich ist, sonst "nein".

Answer 2

ja, das ist in der Tat ein geeignetes Beispiel! Die Abbildung ist dadurch auch automatisch nicht bijektiv.

André