Wie ist das mit stetig und differenzierbarkeit

Question

wenn eine Funktion stetig ist bedeutet es nicht das die Funktion differenzierbar ist.

warum ist das so ?

Answer 1

weil linksseiter Limes und rechtsseitiger Limes nicht übereinstimmen müssen. Wenn du zum Beispiel mal die Betragsfunktion ankuckst, siehst du, dass die "linksseitige Ableitung" an der Stelle 0 gleich -1 ist, während die "rechtsseitige Ableitung" gleich +1 ist. Da diese nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung an dieser Stelle einfach nicht. Die Ableitung der Betragsfunktion hat an dieser Stelle folglich eine Definitionslücke und die Betragsfunktion selbst ist dort nicht differenzierbar, obwohl sie stetig ist.

MfG

Mister

Comments

Schlimmer noch: Rechts- und linksseitige Ableitung müssen nicht einmal existieren.

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Schlimmer geht's immer.

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Hä. die Ableitung ist auf der rechten seite negativ und nicht + 1

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Von der Betragsfunktion?

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ist eine Funktion bei Definitionslücken weder stetig noch unstetig?

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Jupp, dem ist so. Einige Funktionen lassen sich allerdings stetig auf eine Definitionslücke fortsetzen (zum Beispiel Funktionen, die Brüche von Polynomen sind, wozu alle Linearfaktoren im Nennerpolynom* auch im Zählerpolynom vorkommen müssen).

*bezüglich eines Erweiterungskörpers, in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt, wie zum Beispiel ℂ.