Gleichung auflösen: 2*25^x - 12*5^x+10= 0.

Question

:)

Ich habe folgendes Problem: ich suche die Lösung für diese Gleichung: 2*25^x -  12*5^x + 10 = 0

Auf eine Lösung bin ich bereits mittels diesem Lösungsweg gekommen:


2*(5x)^2 - 12*5^x + 10 = 0

5^x (2*1^2 - 12) + 10 = 0

5^x(-10) + 10 = 0

5^x(-10) = -10

5^x = 1

x = 0


Jedoch besagt das Lösungsbuch, dass x=0 nur eine Lösung der Gleichung ist. Die zweite lautet x=1, was auch logisch erscheint, da die Gleichung aufgeht, wenn man in die Ausgangsgleichung 1 für x einsetztt.

Meine Frage nun: Wie kommt man auf die zweite Lösung?
Über eine Antwort würde ich mich riesig freuen! :))

Liebe Grüße,

Cora

Answer 1

Hi,

Dein Lösungsweg sieht sehr elegant aus, doch hast Du hier geschummelt:

2*(5^x)² - 12*5^x + 10 = 0

5^x (2*1² - 12) + 10 = 0

Statt 1^2 müsste dort aber 5^x stehen, denn (5^x)^2 = 5^{2x} = 5^x*5^x

 

Das ist aber die richtige Idee gewesen:

2*(5^x)² - 12*5^x + 10 = 0

Nun substituiere 5^x = u

2u^2-12u+10 = 0   |:2, dann pq-Formel

u₁=1 und u₂=5

 

Es ist also (Resubstitution):

5^x = 1

-> x₁=0

 

und 5^x = 5

x₂=1

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

jap, hab meinen fehler erkannt :D


Vielen lieben Dank für die schnelle und vorallem so gut erklärte Antowort! :))

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Freut mich, wenn ich helfen konnte ;).

Gerne :)        .