Wie bestimme ich drei weitere Punkte, die den gleichen Abstand von E haben?

Question

die Aufgabe lautet:

Gegeben sind der Punkt R (5 -4 3) und die Ebene E: 2x - 2y + y = 0.

a) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E sowie drei weitere Punkte, die den gleichen Abstand von E           haben.

Der Abstand von R und der Ebene habe ich schon berechnet und beträgt 6,78 LE. (Vektor RE 14/3 -14/3 7/3)

Meine Überlegung: Ich suche mir irgendeinen Punkt aus und addiere ihn mit dem Vektor und das mache ich mit allen Punkten. Dann stelle ich mir die Frage, was wenn die Punkte nicht auf der Ebene liegen? Dann müsste ich die Punktprobe durchführen. Gibt es noch einen anderen Weg wie ich das mache?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie berechne ich den abstand von einem punkt und einer ebene?

Stichworte: ebene,abstand,vektoren

Gegeben sind der Punkt R (5/-4/3) und die Ebene E: 2x₁-2x₂+x₃=0.

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R von der Ebene E sowie drei weitere Punkte die den gleichen Abstand von E haben .

Wo liegen alle Punkte die den Abstand 7 von E haben?

Answer 1

d = ABS(2·x - 2·y + z)/√(2^2 + 2^2 + 1^2)

d = ABS(2·x - 2·y + z)/3

d = ABS(2·(5) - 2·(-4) + (3))/3 = 7

Der Abstand ist also 7. Für weitere Punkte mit dem Abstand 7 gilt

d = ABS(2·x - 2·y + z)/3 = 7

Setze x und y ein und löse nach z auf. So bekommst du unendlich viele Punkte

z.B.

[0, 0, ±21]

Answer 2

E: 2x - 2y + z = 0

Auf Abstandsformel bringen

d = (2x - 2y + z - 0) / √(2^2 + 2^2 + 1^1)

d = (2x - 2y + z - 0) / 3

d = 2/3*x - 2/3*y + 1/3*z

Nun den Punkt für x, y und z einsetzen und ausrechnen.

d = 2/3*5 - 2/3*(-4) + 1/3*3 = 7

Alle Punkte die den Abstand 7 haben erfüllen die Gleichung

d = |2/3*x - 2/3*y + 1/3*z| = 7

2/3*x - 2/3*y + 1/3*z = ±7

Answer 3

Bemerke: Die Ebene E geht durch den Koordinatenursprung. 

Bestimmen Sie den Abstand a des Punktes R von der Ebene E 

Setze R in der Hesseschen Normalform HNF der Ebenengleichung für E ein. --> Du hast d (allenfalls mit einem Minus davor. Wenn so einfach den Betrag von d nehmen, da Abstände nicht negativ sind) . a = |d| 

sowie drei weitere Punkte die den gleichen Abstand von E haben .

Nun in der HNF statt = 0 , = d schreiben. Nun hast du die Gleichung einer Ebene, die den richtigen Abstand hat und kannst 3 Punkte darauf wählen. 

Wo liegen alle Punkte die den Abstand 7 von E haben?

Auf 2 zu E parallelen Ebenen, die beiden den Abstand 7 von E haben. 

Arbeite mit der Hesseschen Normalform der Ebenengleichung und setze an die Stelle Abstand vom Nullpunkt ± 7 ein.