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die Aufgabe lautet :

Bestimmen Sie alle Punkte auf der x1 Achse, die von den Ebenen E: 2x1+ 2x2- x3= 6 und F : 6x1+ 9x2+ 2x3= - 22

den gleichen Abstand haben.

Kann mir da einer helfen ? Es ist keine HA sondern eine Übung für mich selber.

 

von

2 Antworten

+2 Daumen

 

Mit x,y,z ist es etwas einfacher lesbar.

Bestimme alle Punkte auf der x1 Achse, die von E: 2x+ 2y- z= 6 und F: 6x+ 9y+ 2z= - 22 gleichen Abstand haben.

Nur mal zum Weg.

Bestimme von beiden Ebenen die Hessesche Normalform und setze die beiden ein Mal gleich, danach noch eine = MINUS die andere. Danach kannst du in beiden Gleichungen y und z Null einsetzen und das zugehörige x berechnen.

So bekommst du die gesuchten 2 Punkte auf der x-Achse.

HNF: (Ax + By + Cz + D) / √(A^2 + B^2 + C^2) = 0

Abstand  d(P1, E) =   |  (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / √(A^2 + B^2 + C^2) | 

Rechnung gemäss Beschreibung

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z + 22)/√(36 + 81 + 4)

(2x + 2y - z - 6) / 3 = ±(6x + 9y + 2z + 22)/ 11      |*33

11 (2x + 2y - z - 6)  = ±3 (6x + 9y + 2z + 22)

Punkt auf x-Achse: y=z=0

11 (2x  - 6)  = ±3 (6x  + 22)

22x - 66 = ±(18x + 66)

Fall +

22x - 66 = 18x + 66

4x=132

x=33

Fall -

22x - 66 = -18x - 66

40x=0

x=0

Die beiden Punkte sind P(33|0|0) und Q(0|0|0).

von 147 k
Das werde ich dann mal morgen machen und dir es dann hier schreiben. Kannst du dann bitte danach schauen ob ich es richtig gemacht habe?
Vermutlich komm ich erst relativ spät oder am Sonntag dazu deine Rechnung anzuschauen. Stell sie einfach schon mal rein.

Also ich denke der Fehler liegt bei Deiner Rechnung. Und zwar hast Du

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z - 22)/√(36 + 81 + 4) gesetzt. Es müsste aber

(2x + 2y - z - 6) / √(4+4+1) = ±(6x + 9y + 2z + 22)/√(36 + 81 + 4) heißen, wenn Du das mal mit den Ebenen Gleichungen vergleichst

E: 2x+ 2y- z= + 6 und F: 6x+ 9y+ 2z= - 22

... oder seh ich da was falsch? Zumindest sollten es unterschiedliche Vorzeichen sein.

 

lg JR

+1 Punkt

Ich verwende folgende Gleichung für die Bestimmung des Abstands des Punktes von der Ebene:
(Herleitung siehe: http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-ebene-formel.html  )

d(P,E) = |n·p -k| / |n| = |a*p1 +b*p2 +c*p3 -k| / sqrt(a^2 +b^2 +c^2)

a*x +b*y +c*z = k; //Ebenengleichung
n = (a; b; c);          //Normalenvektor der Ebene
p = (p1; p2 ; p3);     //Vektor auf Punkt

Ebenengleichungen:
E: 2x1+ 2x2- x3= 6;
F: 6x1+ 9x2+ 2x3= - 22;

Für einen Punkt auf der x1-Achse gilt:
p
= s*(1; 0; 0);
 

Mit den Vorbetrachtungen:

|2*s +2*0 -1*0 -6| / sqrt(4 +4 +2) = dE;
|2/3*s -2| = dE; (s. Skizze)

|6*s +9*0 +2*0 +22| / sqrt(36 +81 +4) = dF;
|6/11*s +2| = dF; (s. Skizze)

Jetzt müsste man eigentlich 4 Fälle betrachten (bin mir da aber nicht ganz sicher). Ich habe das mal grafisch gelöst. Man erhält 2 Schnittpunkte:
Geraden
 

Es gibt also zwei Lösungen für s:

s1 = 0;
s2 = 33;

 

Die gesuchten Punkte auf der x1-Achse sind also:

P1 (0 | 0 | 0);
P2 (33 | 0 | 0);

 

Bei Fragen, Fehlern, Anmerkungen --> Kommentar.

 

lg JR

von 3,7 k
Die 33 stimmt jetzt mit meiner inzwischen nachgetragenen Rechnung überein. Danke.
Bitte sehr. Der Fehler hätte genauso gut in meiner Rechnung liegen können.

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