+1 Daumen
3,7k Aufrufe

Teil 1:

a) Sei \( (a_{n}) \) eine Nullfolge mit \( a _ { n } \geq 0 \) für alle \( n \in \mathbb { N } \). Zeigen Sie, dass auch \( \left( \sqrt { a _ { n } } \right) \) eine Nullfolge ist.

b) Sei \( (a_{n}) \) eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, die gegen a konvergiert. Zeigen Sie, dass a ≥ 0 und dass die Folge \( \left( \sqrt { a _ { n } } \right) \) gegen \( \sqrt{a} \) konvergiert.

Teil 2:

a) Sei \( a _ { n } : = n ^ { \frac { 1 } { 2 n } } \) und sei b_{n} definiert durch \( a _ { n } = 1 + b _ { n } \). Zeigen Sie mit der Bernoullischen Ungleichung, dass \( \sqrt { n } \geq 1 + n \cdot b _ { n } \).

b) Folgern Sie aus (a), dass \( \left( b _ { n } \right) \) eine Nullfolge ist.

c) Folgern Sie aus (b), dass \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { n } = 1 \).


Für die ersten beiden Aufgaben habe ich folgenden Ansatz:

$$\left( \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } \right) \cdot \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } = a _ { n } - a \\ \Rightarrow \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } = \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } \cdot \frac { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } = \frac { a _ { n } - a } { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } $$

Ab hier bräuchte ich einen Denkanstoß.

Diese Aufgabe findet sie sich im Aufgabenblatt von Prof. Dr. Singhof, Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~lessmann/analysis1/analysis_blatt03.pdf

von
Ansatz soweit klar. Ausser, dass bei der ersten Zeile nach dem 'mal' und bei der zweiten vorher Klammern um die Summe resp. Differenz fehlen.

Was spricht dagegen, dass du jetzt vorn und hinten lim ( ganzer Term) schreibst?

Danach Rechengesetze für lim anwenden und

links aufteilen auf zwei lim , beim 2. Term lim gleich wieder weglassen.

Rechts lim Zähler und Nenner separat. Oben kommt 0 raus unten b>0. Total 0.

jetzt links und rechts Wurzel a addieren. Fertig.

Klappt nur für den Fall a>0.

a=0 noch separat behandeln.

 

Ich würde eher mit der Epsilon-Delta-Definition etwas zu basteln versuchen als mit der 3. binomischen Formel.
lieferst du mir deinen Ansatz für die Aufgabe? Ich steig da mit der Epsilon-Definition noch nicht so hinter.

Die Definition kann ich dir im Forum schlecht erklären.

Mein Gebastel für den ersten Teil ist sehr formal. Ich hab es trotzdem mal fotografiert. 

Kann mir jemand sagen, wie ich von iPhoto schlechtere Fotos als minimale Grösse exportieren kann?

Ich muss die Webcam nehmen, da die Dateien zu gross sind.

 

 

Die Qualität ist kaum akzeptabel. 

 

hm wofür ist den dieses epsilion überhaupt da? blicke da ebenfalls nicht durch^^
Das Epsilon bracht's bei der formalen Definition von Grenzwerten.

Wenn ihr eine weniger formale Definition verwendet, musst du halt die in deinem Beweis benutzen. Nur: Rehcnen ist einfacher, wenn die Definition formal ist.

Wie erwähnt, kann ich dir das in diesem Forum schlecht erklären. Man spricht manchmal auch von einem Epsilon-Schlauch.

1 Antwort

+1 Daumen

Die erste Aufgabe ist hier beantwortet.

 

Die zweite Aufgabe ist eigentlich relativ leicht, da das quasi alles aus den Definitionen folgt:

a) Für jedes n gilt an > 0, also bn > -1. Außerdem nimmt n nur nicht negative ganze Zahlen an, damit folgt aus der Bernoulliungleichung:

1+n*bn ≤ (1+bn)n = ann = n1/2 = √n

was zu zeigen war.

b) Offenbar lässt sich durch die gerade bewiesene Ungleichung eine obere Schranke für bn angeben:

bn ≤ 1/√n - 1/n

Da die rechte Seite für n gegen Unendlich gegen 0 geht und Ungleichungen im Grenzwert erhalten bleiben, muss bn eine Nullfolge sein.

c) Ist bn Nullfolge, dann gilt:

limn an = 1 + limnbn = 1

⇒ limnn√n1/2 = 1

Da man den Beweis von Aufgabe 1 ebenso gut umkehren kann, konvergiert also die Folge cn = an2 = n√n gegen 12 = 1.

Das sollte bewiesen werden.

von 10 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...