Nullfolgen und keine Nullfolgen. Konvergenz von Folgen beweisen

Question

Seien (a_n) n∈ℕ, (b_n)n∈ℕ Folgen in ℝ. Beweisen oder widerlegen Sie (mittels Gegenbeispiel):

(a) ⟨⟨⟨(a_n) n∈ℕ ist konvergent⟩ und ⟨ ∀n∈ℕ: b_n ≠ 0⟩ und ⟨(a_n/b_n )n∈ℕ ist Nullfolge⟩⟩  ⇒⟨(b_n) n∈ℕ ist keine Nullfolge⟩

(b) ⟨⟨(b_n)n∈ℕ ist Nullfolge⟩ und ⟨∀n∈ℕ:b_n ≠0⟩⟩ ⇒⟨(1/b_n) n∈ℕ ist nicht konvergent.⟩

(c) ⟨⟨(a_n) n∈ℕ ist konvergent⟩ und ⟨(a_n*b_n)n∈ℕ ist konvergent⟩⟩ ⇒ ⟨(b_n)n∈ℕ ist konvergent.

Answer 1

Hier mal ein Gegenbeispiel zu (a)

(a) ⟨⟨⟨(a_n) n∈ℕ ist konvergent⟩ und ⟨ ∀n∈ℕ: b_n ≠ 0⟩ und ⟨(a_n/b_n )n∈ℕ ist Nullfolge⟩⟩  ⇒⟨(b_n) n∈ℕ ist keine Nullfolge⟩

an: = 1/n^2  Nullfolge

bn:= 1/n  Nullfolge

(an/ bn) = (1/n^2) / (1/n) = 1/n     Nullfolge

Comments

Gegenbeispiel zu (c)

(c) ⟨⟨(a_n) n∈ℕ ist konvergent⟩ und ⟨(a_n*b_n)n∈ℕ ist konvergent⟩⟩ ⇒ ⟨(b_n)n∈ℕ ist konvergent.

an:= 1/n^2           konvergent

bn:=n       nicht konvergent.

an * bn = 1/n^2 * n = 1/n konvergent

(b) dürfte dagegen stimmen. Versuch es mal zu beweisen.

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danke für die antwort. aber bei (a) verstehe ich nicht, warum b_n im beispel eine nullfolge ist, denn eig soll es ja keine nullfolge sein

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Ein Gegenbeispiel zu 'keine Nullfolge' ist halt 'eine Nullfolge', wenn alles andere erfüllt ist.