Lösungsweg für DGL gesucht . dy/dx = 1/(e^y - x) für y(1) = 0

Question

suche für dx/dy = 1/(e^y - x) einen Lösungsweg

EDIT: Korrektur gemäss Kommentar:  die Aufgabe lautet dy/dx = 1/(e^y - x)  für y(1) = 0

die Lösung ist y = arcosh x

suche dafür den Lösungsweg. Er soll über den Weg x statt y als abhängige Variabel führen.

Comments

Bitte die Orginalaufgabe einstellen

Wo sind Klammern, was steht als Exponent ?

Heißt es wirklich : dx(/dy?

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die Aufgabe lautet dy/dx = 1/(e^y - x)  für y(1) = 0

die Lösung ist y = arccosh x

suche dafür den Lösungsweg. Er soll über den Weg x statt y als abhängige Variabel führen.

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hier mal ein Lösungsvorschlag:

1. Substituiere zuerst e^y=z und ersetze die Differentiale

2. Substituiere danach z/x = w und ersetze die Differentiale

PS: ich sehe gerade du sollst x(y) nehmen und das nn bereits die dazugehörige Lösung gefunden hat :)

Answer 1

Vielleicht so:$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac1{\operatorname e^y-x}\\\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\operatorname e^y-x\\x(y)=\tfrac12\operatorname e^y+c\operatorname e^{-y}\\y(1)=0\Rightarrow x(0)=1\Rightarrow c=\tfrac12\\x(y)=\tfrac12\left(\operatorname e^y+\operatorname e^{-y}\right)=\operatorname{cosh}y\\y(x)=\operatorname{arcosh}x.$$

Answer 2

Ich habe diese Aufgabe als exakte DGL gelöst: