Löse mit VdK DGL System dx/dt=-(c+e)x und dy/dt=ex-ay für y(t) und spez. Lös. für x0=1 und y0=0

Question

es geht darum mithilfe der Variation der Konstanten y(t) zu bestimmen.

$$1.) \frac { dx }{ dt } =-(c+e)x$$$$2.) \frac { dy }{ dt } =ex-ay$$

Ich behandle in der 2. Gl. e*x als Konstante und subst. diese zu b. Damit erhalte ich:

$$\frac { dy }{ dt } =b-ay$$

Lösen des homogenen Teils:

$$\frac { dy }{ dt } =-ay$$

$$y(t)=y(0){ e }^{ -at }$$

Variation der Konstanten mit y(0)=c(t):

$$y(t)=c(t){ e }^{ -at }$$ ...

$$c(t)=c(0)+\frac { b }{ a } { e }^{ at }-\frac { b }{ a }$$ c(t) in y(t) einsetzen:

$$y(t)=(c(0)-\frac { b }{ a } ){ e }^{ -at }+\frac { b }{ a }$$

Bestimme y(0):

$$y(0)=(c(0)-\frac { b }{ a } )+\frac { b }{ a } =c(0)$$

Allgemeine Lösung mit Rücksubstitution:

$$y(t)=(y(0)-\frac { ex }{ a } ){ e }^{ at }+\frac { ex }{ a }$$

Ist das soweit alles richtig .. gibt es Fehler??

Wie ermittle ich jetzt die spezielle Lösung für x(0)=1 und y(0)=0?

Comments

Hi,

Variation der Konstanten wird eingesetzt bei inhomogenen Dgl. Du hast aber hier ein homogenes Dgl. System. Insofern bringt Dich das nicht weiter oder ich habe was falsch verstanden.

Ich habe das Dgl. System wie folgt verstanden

$$\dot z(t) = A \cdot z$$ mit $z = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ und $A = \begin{pmatrix} -(c+e) & 0 \\ e & -a \end{pmatrix}$

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Hi,

nunja die Aufgabe lautet aber nunmal so: Bestimme y(t) aus der 2. Gleichung mithilfe der VdK.

Ich dachte, wenn e*x konstant ist, dann wäre es ja inhomogen .. und substituiere b=ex sodass man VdK anwenden könnte.

Wie kann ich sonst die VdK auf die 2. Gleichung anwenden?

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Stell doch die ganze Aufgabe im Original mal ein. Irgendwas ist komisch?

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So lautet aber die Aufgabe .. ich kontrolliere, ob ich das richtig abgeschrieben habe und kein Fehler dadurch drin ist .. nein kein Fehler, so lautet das DGLS

Answer 1

Hi,

dann verstehe ich die Aufgabe nicht, sorry.

Comments

Gegeben sind lediglich die beiden Gleichungen 1.) u. 2.) mit der Teilaufgabe: Bestimme y(t) aus der 2. Gleichung mithilfe der VdK. Ich habe natürlich, um Indexierung zu sparen, die Bezeichner umbenannt aber das sollte doch keine Auswirkungen auf den Inhalt haben.

Das Modell könnte Stofftransport beschreiben. Ein Stoff im Blut mit Konzentration x zerfällt mit Rate c und reichert sich mit Rate e in ein Organ bspw. an. Die Konzentration y  im Organ erhöht sich um die Rate e und zerfällt mit anderer Rate a. Die Aufgabenstellung der Teilaufgabe ändert sich dadurch nicht .. seufz

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Hi,

vielleicht geht es so.

Gleichung (1) kann man ja dirket lösen. Die Lösung lautet $x(t) = x_0 e^{-(c+e) t}$.

Das in Gleichung (2) eingesetzt ergibt eine inhomogene Dgl. 1. Ordnung für $y(t)$ und lautet

$$(1) \quad \dot y(t) = -a y(t) + e x_0 e^{-(c+e) t}$$

NB: Ist mit $e$ jeweils die Eulerschezahl gemeint oder eine beliebige Konstante?

Dir homogene Lösung für $y(t)$ lautet

$$(2) \quad y_h(t) = y_0 e^{-a t}$$

Jetzt kann man eine Lösung von (1) durch VdK finden und bekommt für $y_0$ folgendes

$$(3) \quad y_0 = e x_0 \frac{1 - e^{-(c+e-a) t} }{c+e-a} +C$$

Das eingesetzt ergibt für $y(t)$ die Lösung

$$(4) \quad y(t) = e^{-at} \left( y_0 +e x_0 \frac{1 - e^{-(c+e-a) t} }{c+e-a} \right)$$

Damit hat man die Lösung dses Dgl. gefunden.

Ergibt übrigens das gleiche wie in meinem ersten Kommentar.

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Ok .. vielen Dank, so macht mehr Sinn als das was ich zuerst gemacht habe .. das mit der Konstante kam mir auch nicht richtig vor, weil es zu einfach gewesen wäre ..

das "e" ist eine Rate/Konstante, kein Euler e, etwas unglücklich gewählt wie ich gerade bemerke.

Ob es richtig ist, werde ich die Woche erfahren .. Vielen Dank erstmal.

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Danke sehr, war genau das was gefordert war .. vielen Dank