Fragen zu einer Gleichung

Question

16=Wurzel(4^2(x-1))

256=4^2x-2

Kann man sagen, dass es nur eine einzige Lösung gibt (x=3), da der Grad der Funktion 1 ist?

Wie kann man die Gleichung genau nach x umformen?

Answer 1

Wie kann man die Gleichung genau nach x umformen? 

4^4= 4^{2x-2}

->Exponentenvergleich:

4=2x-2

6=2x

x=3

Comments

Exponentenvergleich darf man nur machen wegen der 4 oder?

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ja, weil Du auf beiden Seiten die gleiche Basis , nämlich 4 hast.

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Man darf das, weil die Funktion  f(x) = 4^x  streng monoton steigend ist und deshalb jede Potenz von 4 nur für eine Hochzahl vorkommen kann.

Answer 2

Wie kommst du auf die Idee, dass der Grad der Funktion 1 ist?

Comments

x^3 -> Grad 3

4^2x-2 -> Grad 1?

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Der größte Exponent der Potenzfunktionen in der Polynomdarstellung einer ganzrationalen Funktion ist der Grad dieser ganzrationalen Funktion. Die rechte Seite deiner quadrierten Gleichung ist aber gar kein ganzrationaler Term, sondern ein Exponentialterm.

Answer 3

16 = √ ( 4^2(x-1) )
Hier ist die Lösung der Gleichung eine
ganze Zahl und relativ leicht erratbar.

Ein allgemeiner Lösungsweg nach
Schema f ( immer anwendbar ) wäre

16 = √ ( 4^2(x-1) ) | quadrieren
256 =  4^{2*[x-1]}  | ln
ln ( 256 ) = 2*(x-1) * ln(4)
2 * ( x - 1 ) = ln ( 256 ) / ln (4 )
x - 1 = 4  / 2
x = 2 + 1
x = 3