Tangentengleichung f(x)=1/3 x^3 - 4x an den Graphen mit Abspaltprodukt. Doppelte Nullstelle?

Question

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"An die Kurve mit der Gleichung f(x)=1/3 x^3 - 4x lassen sich durch den Punkt P(3/f(3)) zwei Tangenten legen. Bestimmen Sie die Tangentengleichungen."

Nun, habe Ich(wie von unserem Lehrer gezeigt, leider weiss ich nicht wieso), die Steigung auf zwei Arten ausgedrückt. Sprich m= f(u)+3/u-3(Punkt-Strichformel) und f' (u)= 2/3x^2-4(1.Ableitung), diese dann gleichgesetzt und Sie in den Taschenrechner eingegeben. Herauskommen tun allerdings diverse  Zahlen mit unzähligen Dezimalstellen und die 3.
Was, so vermute Ich, falsch ist.

Unser Lehrer hat das nun aber so gemacht: f(u)+3/u-3=f'(u) 
Danach aufgelöst, bis 2u^3-9u^2+27=0 und danach hingeschrieben "u1=3 --> ist doppelte Nullstelle (u-3) lässt sich zweimal abspalten"
Dies ergibt die Restgleichung 2u+3=0 

Ich habe nun leider keine Ahnung was das bedeutet "doppelte Nullstelle" bzw. wie das mit dem "zweimal Abspalten" gemeint ist. Meines Erachtens hätte es doch eigentlich mit dem Taschenrechner klappen müssen. 
Könnte jemand Helfen?
Wäre echt super dankbar!
 

Answer 1

f(x) = 1/3·x^3 - 4·x
f'(x) = x^2 - 4

Eine Tangente ist also mit Sicherheit

t1(x) = f'(3) * (x - 3) + f(3) = 5 * (x - 3) - 3

Ein anderer Ansatz ist die Steigung zwischen einem anderen Punkt der Funktion und diesem Punkt (3|-3) muss genau der Steigung an dem anderen Punkt entsprechen

(f(x) - (-3))/(x - 3) =  f'(x)
(x^3/3 - 4·x + 3)/(x - 3) = x^2 - 4
x^3/3 - 4·x + 3 = (x^2 - 4)*(x - 3)
x^3/3 - 4·x + 3 = x^3 - 3·x^2 - 4·x + 12
2·x^3/3 - 3·x^2 + 9 = 0
x^3 - 4.5·x^2 + 13.5 = 0

x = - 3/2 ∨ x = 3

D.h. -3/2 ist die andere Stelle an die eine Tangente angelegt werden kann.

t2(x) = f'(-3/2) * (x - (-3/2)) + f(-3/2) = -7/4 * (x + 3/2) + 39/8