Doppelte Nullstelle erkennen bei y = x^5-4x^4+4x^3-4x^2+3x

Question

Woran erkenne ich bei diesem Polynom : x^5-4x^4+4X^3-4X^2+3x , dass eine doppelte Nullstellen bei x=1 vorhanden ist ?  oder wie kann man es allgemein erkennen ?

DANKE

Comments

Sicher, dass eine doppelte Nullstelle existiert?

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Ja aufjedenfall

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$$x^5-4x^4+4x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)(x^2+1).$$

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Gast. Richtig. Ich bin inzwischen auch bei der Überzeugung, dass da bei x=1 keine zweifache Nullstelle vorliegt.

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naja vll hat sich auch meine Lehrerin vertan. Ich weiß es nicht. Könne Sie vll allgemein sagen, wie man eine doppelte Nullstelle erkennen kann ?

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Verschiedene Möglichkeiten:

Entweder du hast (x-1)^2 in der Faktorisierung,

oder du hast im Graphen an der Stelle x=1 eine lokale Extremalstelle (könnte dann aber auch eine 4-fache, 6-fache.... Nullstelle sein)

Beachte auch meine korrigierte Rechnung im Kommentar zu meiner Antwort. Sie beruht auf dem Satz von Vieta.

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Die Funktion hat keine doppelte Nullstelle.
naja vll hat sich auch meine Lehrerin vertan.
Ich bin brennend daran interessiert was deine Lehrerin
zu dieser Erkenntnis sagt.

Answer 1

Durch Polynomdivision ist dies feststellbar

x⁵-4x⁴+4X³-4X²+3x = x * ( x -1 ) * ( x -1 ) * ( x^2 -2x -1 )

x -1 kommt 2 mal vor und ist somit eine doppelte Nullstelle.
Das heißt bei x = 1.

~plot~  x * ( x -1 ) * ( x -1 ) * ( x^2 -2*x -1 ) ~plot~

Comments

Warum hat dein Graph bei x=1 keine doppelte Nullstelle?

Am Graphen müsste man eine Extremstelle sehen.

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Ich kämpfe zur Zeit noch mit dem Plotter.

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Hast du jetzt nicht (x-1)^2 doppelt in deinem Term?

Ich nehme an, das wird noch.

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x⁵-4x⁴+4X³-4X²+3x

Ich kann leider nicht sagen woran die Schwierigkeiten mit dem
Plotter liegen.

Hast du jetzt nicht (x-1)² doppelt in deinem Term?

Das hat die Polynomdivision ergeben und zeugt
davon das ein doppelte Nullstelle vorhanden ist.
Berührpunkt.

~plot~ ( x-1) * ( x -1 ) ~plot~

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Irgendwo steckt noch ein Fehler.
Ich gehe jetzt aber erst einmal fernsehen.

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Eine Polynomdivision durch ( x -1)^2  oder
/ ( x-1 ) und dann nocheinmal / (  x-1 )
ergibt einen Rest.

Die Funktion hat keine doppelte Nullstelle.
naja vll hat sich auch meine Lehrerin vertan.
Ich bin brennend daran interessiert was deine Lehrerin
zu dieser Erkenntnis sagt.

Answer 2

x⁵-4x⁴+4X³-4X²+3x     | 1. einfache Nullstelle x1=0 ausklammern.

=x(x^4-4x^3+4x^2-4x+3) 

Nun muss die Polynomdivision 

(x^4-4x^3+4x^2-4x+3) :(x-1)^2 

=

(x^4-4x^3+4x^2-4x+3) : (x^2 -2x + 1) 

ohne Rest aufgehen. 

2. Möglichkeit: Du siehst eine weitere Nullstelle: x4 = 3.

Nun muss in x^4-4x^3+4x^2-4x+3=0 gelten x2 * x3 *x4 = 3      Achtung: Korrektur im Kommentar unten! 

Also 1*x3*3 = 3

==> x3 = 1. 

Comments

Danke für die Antwort. Doch meine Lehrerin meinte, dass man es erkennen kann ohne zu rechnen. Haben Sie vll einen Tipp ?

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Ja. Ich habe soeben noch eine 2. Rechnung angefügt.

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Wenn man hier schaut, stimmt deine Behauptung aber nicht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4-4x%5E3%2B4x%5E2-4x%2B3

Grund: Ich müsste ja oben noch eine weitere Nullstelle ansetzen.

Also: (- x2) * (-x3) *(-x4)*(-x5)  = 3 

==> x3*x5 = 1.

Das kann nun sein mit z.B. i * (-i) oder 1*1 .

Nun halt einfach beide Möglichkeiten kontrollieren. 

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HIer noch eine Abbildung aus dem angegebenen Link (sollte er mal nicht tun): 

Deine Lehrerin meinte wohl, dass man die 1 in der Faktorzerlegung (1.alternate form) einfach erraten kann.

Wie inzwischen oben angeführt ist diese 1 aber x3 * x5 und hier sind x3 und x5 zufällig 2 zueinander konjugiert komplexe Zahlen.