Seien p, q Polynome und f ∈ (End(V)) , f linear ; sei d=ggT (p,q) ; Beweisen Sie: Kern(d(f)) = Kern(p(f)) ∩ Kern(q(f))

Question

Aufagbe:

Seien, p,q Polynome über einem Körper K mit p,q ∈ K[T] und sei d = ggT(p,q).
Sei V ein K-Vektorraum, und sei f : V → V linear.
Beweisen Sie:

 Kern(d(f)) = Kern(p(f)) ∩ Kern(q(f))

Meine Überlegung:

Sei a ∈ Kern(p(f)) ∩ Kern(q(f))

Dann ist p(f)(a) = q(f)(a) = 0.

Da p , q von d ohne Rest geteilt werden da der ggT eindeutig ist und d auch d teilt,

ist a ∈  Kern(d(f)) mit d(f)(a) = 0 und es gilt a = d (?)


kommt mir etwas wenig vor und der zusammenhang naja : / wie macht man diesen beweis? danke!

Comments

oder eher:

a = d(f)

wegen p(f)(a) = q(f)(a) = 0

ist a = r * p(f) + s * q(f) = d(f)

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mit ist noch etwas eingefallen aber für die rückrichtung nicht : /

$$Es\quad gilt\\ \\ Kern(d(f))\quad \subseteq \quad Kern(p(f))\quad und\quad Kern(d(f))\quad \subseteq \quad Kern(q(f)).$$

$$So\quad dass\quad$$

$$Kern(d(f))\quad \cap \quad Kern(q(f))\quad \subseteq \quad Kern(p(f))\quad \cap \quad Kern(q(f))$$

$$Wegen\quad Kern(d(f))\quad \subseteq \quad Kern(q(f))\quad folgt,\quad dass\quad Kern(d(f))\quad \cap \quad Kern(q(f))\quad =\quad Kern(d(f)).$$

$$Es\quad ist\quad also\quad Kern(d(f))\quad \subseteq \quad Kern(p(f))\quad \cap \quad Kern(q(f))$$

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Zu zeigen ist ($v\in V$) $$d(f)(v)=0\Longleftrightarrow p(f)(v)=0\wedge q(f)(v)=0.$$ Mach Dir dazu erstmal klar: Wenn $a(T), b(T), c(T)$ Polynome aus $K[T]$ mit $c(T)=a(T)b(T)$ sind, dann ist (siehe Einsetzungshomomorphismus) $$c(f)=a(f)\circ b(f)$$ und man kann gemaess $$c(f)(v)=[a(f)b(f)](v)=a(f)[b(f)(v)]$$ rechnen, wenn man $a(f)b(f)\equiv a(f)\circ b(f)$ schreibt. Danach ist die Aufgabe ziemlich billig.

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danke. geht es dann so weiter?

d(f)(v) = r(f)[p(f)(v)] + s(f)[q(f)(v)]

d(f)(v) = r(f)(0) + s(f)(0) = 0

0 = 0 + 0 = r(f)(0) + s(f)(0) = r(f)[p(f)(v)] + s(f)[q(f)(v)]

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Die ersten zwei Zeilen sind die Rechnung für die Rueckrichtung. Aus p(f)(v) = q(f)(v) = 0 folgt mit der Lineardarstellung des ggT auch d(f)(v) = 0. Was die dritte soll, erschliesst sich mir nicht.