Sei p ∈ Hom(V, V ) ein Endomorphismus von V so dass die Gleichung p ◦ p = p erfüllt ist.

Question

Sei K ein Körper und sei V ein K -Vektorraum. Sei p ∈ Hom(V, V ) ein Endomorphismus von V so dass die Gleichung p ◦ p = p erfüllt ist.

1. Sei v ∈ Im(p). Zeigen Sie, dass p(v) = v.

 

2. Zeigen Sie, dass ker(p) ∩ Im(p) = 0 und dann, dass V = ker(p) ⊕ Im(p).

3. Sei r = dim Im(p) und sei k = dim ker(p). Sei (v₁, · · · , vr) eine Basis von Im(p) und sei (v'₁, ... V'_k)
eine Basis von ker(p). Zeigen Sie, dass

B = (v₁, ... v_r,v'₁, ... v'_k) eine Basis von V ist. 

4. Geben Sie die Matrix MatB,B(p) von p in B an.

Answer 1

Ja, das Tutorium :)

1.) v∈Im(p) ⇔ ∃u ∈V: p(u)=v

     p(v)=p(p(u))=p(u)=v (Schreib beim zweiten Gleichheitszeichen hin, dass du die Vorr. benutzt,)

2.) ker(p)={v∈V:p(v)=0}

p(v)=p(p(v))=0 ⇔ p(v)=0, daher ker(p) trivial, also ker(p) ∩ im(p)=0.

ker(p)⊕im(p)=V ⇔ (ker(p)+im(p)=V) ∧ (ker(p) ∩ im(p)=0). ker(p)+im(p)=V solltet ihr in der Vorlesung gehabt haben.

3) und 4) schreibe ich heut abend noch rein, muss nur jetzt weg.

 

Guß

Comments

3). Dimensionsformel

4) Einheitsmatrix in R^{r x r}