Wie kann man mit einem direkten Beweis überprüfen, ob die Behauptung:
"Eine Quadratzahl (größer als 4) lässt sich als Summe von zwei Dreieckszahlen darstellen."
für alle natürlichen Zahlen gilt?
Das sind meine Ansätze:
Quadratzahl: n²
Dreieckszahl: k*(k+1)/2
Also: n² = k1*(k1+1)/2 + k2*(k2+1)/2
Kann man damit weiterarbeiten, und falls ja, wie?
Tipp: \(\tfrac12n(n+1)+\tfrac12(n+1)(n+2)=(n+1)^2\).
Wähle k1 = n und k2 = n-1.
addiere zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen:
$$ \frac { k(k+1) }{ 2 }+\frac { (k+1)(k+2) }{ 2 }\\=\frac { (k+1) }{ 2 }(k+k+2)=\frac { 2(k+1)(k+1) }{ 2 }=(k+1)^2=n^2 $$
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