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Aufgabe:

Sind x und y ungerade Zahlen so kann x²+y² keine Quadratzahl sein.


Problem/Ansatz:

Heyho,

Ich sitze zurzeit an dieser Aufgabe dran und hab folgenden Ansatz in Richtung Kontrapositionsbeweis gemacht:


x²+y²∈ ℕ => 2|x ∧ 2|y


Von hier an weiß ich leider nicht wie ich das ganze weiter angehen soll.

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2 Antworten

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Dein Ansatz ist Unfug, wein 3²+4² eine natürliche Zahl ergibt, aber nicht beide Zahlen (3 und 4) gerade sind.

Wesentliche für deinen Beweis wird sein, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl grundsätzlich immer den Rest 1 bei Teilung durch 4 lässt..

Avatar von 54 k 🚀

Ja hab ich gerade auch bemerkt das das mit dem Element aus den Natürlichen Zahlen nicht passt. Wie geh ich das am besten dann an?

Wesentliche für deinen Beweis wird sein, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl grundsätzlich immer den Rest 1 bei Teilung durch 4 lässt.

...was natürlich für beide ungeraden Quadrate gilt. Welche Konsequenzen hat das für die Summe?

… dass sie bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, also zumindest gerade ist. Das ist nichts Neues. Und weiter?

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… dass sie bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, also zumindest gerade ist. Das ist nichts Neues. Und weiter?

Ja - und das ist doch schopn die Lösung! Eine Zahl, die zwar durch 2 aber nicht durch 4 teilbar ist (gibt ja den Rest 2) kann keine Quadratzahl sein!

Jede Quadratzahl weist - in Primfaktoren zerlegt - nur gerade Exponenten der Primfaktoren auf. Und der Exponent der 2 wäre =1 und damit ungerade. Ein Beispiel: $$18^2 = 324 = 2^2 \cdot 3^4$$ aber $$7^2 + 23^2 = 578 = 2^1 \cdot 17^2 $$Siehe dazu auch: pythagoreische Tripel. Hier muss mindestens eine der beiden Katheten (bzw. \(x\) und \(y\)) gerade sein.

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