Direkter Beweis: Eine Quadratzahl (größer als 4) lässt sich als Summe von zwei Dreieckszahlen darstellen.

Question

Wie kann man mit einem direkten Beweis überprüfen, ob die Behauptung:

"Eine Quadratzahl (größer als 4) lässt sich als Summe von zwei Dreieckszahlen darstellen."

für alle natürlichen Zahlen gilt?

Das sind meine Ansätze:

Quadratzahl: n²

Dreieckszahl: k*(k+1)/2

Also: n² = k1*(k1+1)/2 + k2*(k2+1)/2

Kann man damit weiterarbeiten, und falls ja, wie?

Comments

Tipp: \(\tfrac12n(n+1)+\tfrac12(n+1)(n+2)=(n+1)^2\).

Answer 1

Wähle k₁ = n und k₂ = n-1.

Answer 2

addiere zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen:

$$ \frac { k(k+1) }{ 2 }+\frac { (k+1)(k+2) }{ 2 }\\=\frac { (k+1) }{ 2 }(k+k+2)=\frac { 2(k+1)(k+1) }{ 2 }=(k+1)^2=n^2 $$