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Meine Frage ist:

verläuft die Gerade G:x = (1 l2 l3) + r* (3 l2 l a) paralell zur Ebene E:x = (3 l 1 l 0) + r* (2 l -1 l 5) + s* (1 l 3 l -2)?



Bitte mit Erklärung.


Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen, beides gleichzusetzen.

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> Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen, beides gleichzusetzen.

Damit berechnest du die gemeinsamen Punkte von Gerade und Ebene

Wenn es keine gemeinsamen Punkte gibt (d.h. das Gleichungssystem hat keine Lösung), dann müsssen Gerade und Ebene parallel sein.

Wenn es unendlich viele gemeinsame Punkte gibt, dann liegt die Geade in der Ebene. Auch das wird als parallell bezeichnet.

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Hallo Luka,

beides gleich zu setzen wäre eine Möglichkeit. Aber da ist noch der Parameter \(a\). Und ich nehme mal an, dass die Frage ist: welchen Wert muss \(a\) haben, damit die Gerade parallel zur Ebene verläuft?

Damit dies der Fall ist, muss der Richtungsvektor der Geraden, von den beiden Richtungsvektoren der Ebene linear abhängig sein. Das bedeutet, dass sich der eine über eine Linearkombination der beiden anderen ausdrücken lässt - heißt formal - es muss gelten:

$$\begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 5\end{pmatrix} \cdot r + \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -2\end{pmatrix} \cdot s = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\a \end{pmatrix}$$

Dazu löst man zunächst das Gleichungssystem aus den oberen beiden Zeilen

$$\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r\\ s\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}$$

das macht \(r=1\) und \(s=1\) und setzt das in die dritte Gleichung ein. Man erhält für \(a\):

$$5 \cdot 1 +(-2) \cdot 1 = a = 3$$

Zum Schluss muss man noch prüfen. ob der Aufpunkt \((1|2|3)\) nicht(!) in der Ebene liegt. Sonst wäre die Gerade Teil der Ebene. Dazu setzt man den Aufpunkt mit der Ebene gleich.

$$\begin{pmatrix}3 \\ 1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 5\end{pmatrix} \cdot r + \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -2\end{pmatrix} \cdot s = \begin{pmatrix}1 \\ 2\\3 \end{pmatrix}$$

Den konstanten Vektor auf die rechte Seite bringen und als Lineares Gleichungssystem (LGS) schreiben:

$$\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 3\\ 5 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r\\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\\3 \end{pmatrix}$$

Dieses LGS ist überbestimmt, da für zwei Unbekannte drei Gleichungen gegeben sind. Aus den ersten beiden Gleichung würde folgen, dass \(r=-1\) und \(s=0\) ist. Das erfüllt aber die dritte Gleichung nicht. Es gibt keine Lösung - daraus folgt, dass der Aufpunkt nicht in der Ebene liegt. Die Gerade liegt mit \(a=3\) parallel zu der Ebene.

Ich habe Dir das ganze  noch mal in Geoknecht-3D eingegeben

Bild Mathematik

(klick auf das Bild)

Gruß Werner

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