Ebenengleichung Mathematik; Ebene; Gerade

Question

Aufgabe:

Ebene, Gerade, Ebenengleichung Mathe

Problem/Ansatz:

hallo☺️

Bei Ebenen wenn sich zwei Geraden schneiden und die Aufgabenstellung lautet: Bestimme eine Ebenengleichung aus den zwei sich schneidenden Geraden h und g. Warum ist dann egal, ob man nun den Aufpunkt von h oder g für die Ebenengleichung nimmt

Answer 1

Als Aufpunkt kann jeder beliebige Punkt der Ebene verwendet werden.

Jeder Punkt von $g$ liegt in der Ebene. Also kann jeder Punkt von $g$ als Aufpunkt verwendet werden. In der Parameterdarstellung von $g$ kann ein bestimmter Punkt von $g$ sehr leicht abgelesen werden, nämlich der Aufpunkt von $g$.

Jeder Punkt von $h$ liegt in der Ebene. Also kann jeder Punkt von $h$ als Aufpunkt verwendet werden. In der Parameterdarstellung von h kann ein bestimmter Punkt von $h$ sehr leicht abgelesen werden, nämlich der Aufpunkt von $h$.

Wenn du zum Beispiel

        $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}-7\\-1\\11\end{pmatrix}$

hast, dann kannst aber auch

        $\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix}-7\\-1\\11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-25\\-9\\46\end{pmatrix}$

rechnen und $(-25|-9|46)$ als Aufpunkt der Ebene nehmen, weil der Punkt $(-25|-9|46)$ auf der Geraden $g$ liegt. Nur stellt sich dann die Frage warum man sich so viel Aufwand macht, wo man doch den Aufpunkt $(3|-5|2)$ von $g$  einfach ablesen kann.

Comments

Erstmal vielen lieben Dank. Also muss bedeutet es, dass der Aufpunkt nicht zwingend der Schnittpunkt der Vektoren sein muss oder?

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Der Aufpunkt muss nicht zwingend der Schnittpunkt der Geraden sein.

Vektoren haben keinen Schnittpunkt.

Answer 2

Warum ist dann egal, ob man nun den Aufpunkt von h oder g für die Ebenengleichung nimmt

Wenn sich beide Geraden in der Ebene befinden, dann befindet sich jeder Der Geradenpunkte in der Ebene. Unter anderem auch die beiden Aufpunkte.

Comments

Vielen lieben Dank. Somit muss der Aufpunkt nicht zwingend der Schnittpunkte beiden Vektoren sein oder?

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Vielen lieben Dank. Somit muss der Aufpunkt nicht zwingend der Schnittpunkte beiden Vektoren sein oder?

Richtig. Der Aufpunkt kann jeder Punkt der Geraden g aber auch jeder Punkt der Geraden h sein. Natürlich könnte das auch der Schnittpunkt sein. Muss aber nicht.

Answer 3

Hier mit Erklärung:

https://de.serlo.org/mathe/2123/ebene-aus-zwei-geraden