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Sei X die Menge aller ganzen Zahlen, d(m,n) = |m-n|. Zeige: X ist vollständig!

Kann mir bitte jemand erklären was hier zu tun ist?  

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Also der metrische Raum ( X , d) ist vollständig.

Da musst du nur zeigen, dass jede Cauchyfolge in X konvergiert.

Sei also (xn ) n ∈ ℕ eine  Cauchyfolge in X .

Dann gibt es zu ε=1 ein N mit d(xn ,xm ) < 1 für alle n,m > N.

also gilt für alle diese Folgenglieder diese | xn - xm | < 1.

Zwei ganze Zahlen, die sich um weniger als 1 unterscheiden,

sind aber gleich, also gibt es ein c∈X mit   c=  xn = xm  für alle n,m > N.

Damit gilt für alle n > N.  d(  xn  , c ) = |  xn  - c | = 0 < ε für jedes ε>0.

Also konvergiert die Folge gegen c.      q.e.d.

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wow! Da hätte ich noch lange überlegen können! Dankeschön für deine schnelle Hilfe!!!! 

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