Inverse obere Dreiecksmatrix mit Hilfe von Formel bestommen

Question

\( A=\left[\begin{array}{lll}{1} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \)

könnt ihr mir zeigen, wie ich mit dieser Formel A^-1 berechne?

Wie bekommen wir \( A^{-1} \) ? Wir suchen \( C=\left[c_{i j}\right], \) so dass \( C A=A C=I_{n} \)
d.h. für alle \( j=1, \ldots, n \) gilt
$$ \left[\begin{array}{ccc} {a_{11}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {a_{n n}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {c_{1 j}} \\ {\vdots} \\ {c_{n j}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {\delta_{1 j}} \\ {\vdots} \\ {\delta_{n j}} \end{array}\right] \quad\left(\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {i=j} \\ {0,} & {\text { sonst }} \end{array}\right)\right. $$
Wenn wir uns die letzte Zeile anschauen, haben wir sofort, dass aus \( a_{n n} c_{n j}=\delta_{n j} \) folgt, dass \( c_{n j}=\delta_{n j} a_{n n}^{-1} \) und damit folgt aus der Existenz der Inversen von \( A, \) dass \( a_{n n} \) invertierbar sein muss. Dann erhalten wir aus der vorlezten Zeile, dass
$$ a_{n-1, n-1} c_{n-1, j}+a_{n-1, n} c_{n j}=\delta_{n-1, j}, $$
und damit
$$ c_{n-1, j}=a_{n-1, n-1}^{-1}\left(\delta_{n-1, j}-a_{n-1, n} c_{n j}\right). $$

Wieder folgt aus der Existenz der Inversen von \( A \) die Existenz von \( a_{n-1, n-1}^{-1} . \) Wir zeigen nun per lnduktion, rückwärts, dass \( C \) obere Dreiecksmatrix ist und die folgende Formel für die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix (Rückwärts-Einsetzen) für \( j=1, \ldots, n \) gilt:
$$ \begin{array}{l} {c_{n j}=a_{n n}^{-1} \delta_{n j}} \\ {c_{i j}=a_{i i}^{-1}\left(\delta_{i j}-\sum \limits_{k=i+1}^{n} a_{i k} c_{k j}\right), \quad i=n-1, \ldots, 1} \end{array} $$ 

Answer 1

die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix ist bekanntlich ebenfalls eine solche. Ansatz:$$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u&v&x\\0&w&y\\0&0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$Zu lösen sind also die drei Gleichungssysteme$$(1)\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\(2)\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v\\w\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\(3)\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$Dies geschieht durch sog. Rückwärtseinsetzen beginnend mit der jeweils letzten Zeile eines Gleichungssystems. Z.B gilt für das dritte Gleichungssystem \(1\cdot z=1\Leftrightarrow z=1\\1\cdot y+2\cdot z=0\Leftrightarrow y=-2\\1\cdot x+2\cdot y+0\cdot z=0\Leftrightarrow x=4.\)
Als Inverse erhält man schließlich \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&4\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\).

MfG