Quadratische Gleichung zur Berechnung der Kollinearität von drei Punkten

Question

habe oben stehende Aufgabe zu lösen und leider keinen Ansatz außer folgenden:

A, B, C sind kollinear genau dann wenn a, b, c ∈ ℝ, (a,b)≠(0,0) mit:

a*x₁ + b*y₁ = c
a*x₂ + b*y₂ = c
a*x₃ + b*y₃ = c

Hat jemand eine Idee wie ich die Aufgabe löse?

Comments

A, B, C sind kollinear genau dann wenn a, b, c ∈ ℝ, (a,b)≠(0,0) mit:

a*x₁ + b*y₁ = c
a*x₂ + b*y₂ = c
a*x₃ + b*y₃ = c

Drei Punkte heissen kollinear, wenn sie auf einer Geraden liegen. Diese Eigenschaft und Dein Gleichungssystem haben nichts miteinander zu tun.

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Ich dachte, wenn es dieses a, b und c gibt, dann sind die 3 Punkte kollinear (und damit auf einer Geraden).

Keine Ahnung wie man allerdings auf irgendwas quadratisches kommen soll.

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Vielleicht nehme ich die Behauptung auch wieder zurueck. Erklaer doch mal, warum diese drei Gleichungen gelten sollen, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen.

Falls es stimmt (oder Dir eh egal ist, weil Du die Bedingungen einfach irgendwo abgeschrieben hast): Was ist denn jetzt die Bedingung dafuer, dass es \(a, b, c\) wie gewuenscht gibt?

Weiter: Kannst Du ein Beispiel für einen quadratischen Ausdruck in den Koordinaten \(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3\) angeben? Schliesslich soll in der gesuchten Bedingung einer vorkommen.

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1. "Quadratisch" muss hier so interpretiert werden, dass der gesuchte Ausdruck nicht linear ist, nicht kubisch ist, ... er enthält also (vielleicht neben linearen Termen wie 3x₁ - 7y₃ ) auch Produkte von zweien solcher Terme (wie 5x₂y₁+y₂² ) aber keine Produkte von dreien (wie x₁x₃y₁ - 4x₂²y₃ )

2. Alternativ zu deinem (richtigen) Ansatz kannst du
-  eine Parabel der Form y = a·x^2 + b·x + c  (Achtung :  a, b, c haben hier andere Bedeutung als oben !) durch die Punkte A, B, C legen und es ergibt sich eine Gerade, falls ... (dieses ... ist die Bedingung)
oder
-  (falls du das Kreuzprodukt kennen solltest) AB × AC = 0 (hier stehen drei Vektoren) ausführen.

Answer 1

du hast die aufgabe doch schon gelöst. Das LGS

a*x₁ + b*y₁ = c 
a*x₂ + b*y₂ = c 
a*x₃ + b*y₃ = c 

erfüllt die Bedingung aus der Aufgabe. Du brauchst nur den algebraischen Ausdruck finden.

Comments

Ich kriege das a, b, c nicht raus.

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brauchst du doch nicht. da steht man soll nur den algebraischen ausdruck angeben

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Dann ist mir, denke ich, nicht klar, wie ich das in einen algebraischen Ausdruck umforme. Da ist ja auch noch kein Quadrat enthalten?