Geometrische Folge Punkte berechnen

Question

Von einem Punkt S gehen 12 Halbgeraden aus die jeweils einen Winkel von 30° miteinander einschließen .Auf der ersten halbgerade  liegt der Punkt P1 mit Abstand von 10cm vom Punkt S.  Von diesem Punkt P1 aus wird die normale auf die zweite gerade gefällt ,der Fußpunkt sei P2 .Von p2 wird die normale auf die dritte gerade gefällt der Fußpunkt sei P3 und so weiter Berechnen Sie die Entfernung des Punktes P 13 von S und die Länge des Streckenzuges P1 P2 P3.... P13

Answer 1

Hallo Babsi16! :-)

mit \( a_1 \) benenne ich den Abstand von \( S \) zum Punkt  \( P_1 \) .
\( a_2 \) ist der Abstand von  \( S \)  zum Punkt  \( P_2 \) usw. Vergleiche mit den Bezeichnungen im Bild. Wir benutzen die Winkelbeziehung \( \sin(30^\circ) = \frac{x_1}{a_1} \) und den Satz des Pythagoras \( a_2^2 + x_1^2 = a_1^2\), um den Abstand \(a_2 \) berechnen können. Dabei nutzen wir, dass \( \sin(30^\circ) = \frac{x_1}{a_1} =  \frac{1}{2}  \) ist. Das wiederholen wir noch einmal für die Berechnung des Abstandes \( a_3 \) und erkennen ein Bildungsgesetz, das zur Lösung führt.

$$  \sin(30^\circ) = \frac{x_1}{a_1} = \frac{1}{2} \Rightarrow    \frac{x_1^2}{a_1^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_1^2 = \frac{1}{4} a_1^2 \\a_2^2 + x_1^2 = a_1^2 \Rightarrow x_1^2 =  a_1^2- a_2^2$$
Wir haben zwei Formeln für \( x_1^2 \), die wir gleichsetzen
$$\frac{1}{4} a_1^2 =  a_1^2- a_2^2 $$ Daraus bekommen wir durch auflösen nach \( a_2 \) den Abstand \( \\ a_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}a_1. \\ \)
Jetzt berechnen wir den Abstand \(a_3. \)

$$ \sin(30^\circ) = \frac{x_2}{a_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow  \frac{x_2^2}{a_2^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_2^2 = \frac{1}{4} a_2^2 \\a_3^2 + x_2^2 = a_2^2 \Rightarrow x_2^2 =  a_2^2 - a_3^2$$
Wir setzen die beiden Formeln für \(x_2^2 \) gleich:
$$\frac{1}{4} a_2^2 =  a_2^2 - a_3^2 $$
und bekommen durch Umformen den Abstand \( \\ a_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} a_2.  \)

Wir erkennen ein Bildungsgesetz:

$$a_4  = \frac{\sqrt{3}}{2} a_3 \\a_5  = \frac{\sqrt{3}}{2} a_4 \\... \\usw. $$
Weiter erhalten wir durch Einsetzen
$$a_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} a_2 =  \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} a_1 \\a_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} a_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} a_1 \\usw.$$
Der Index \( n \) der Variable \(a_n \) verrät uns, wie oft wir \( a_1 \) mit  \(  \frac{\sqrt{3}}{2} \) multiplizieren müssen, damit wir den \( n-ten \) Abstand bekommen, nämlich \(a_n -1  \) mal. Damit bekommen wir die Formel für den \( n-ten\) Abstand: \( a_n = a_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} \)



Beste Grüße

Nachträgliche Änderung: Fehler korrigiert, Antwort überarbeitet. Danke hj2166!

Comments

Hätte es gern noch einen Tick ausführlicher gemacht

noch besser wäre "einen Tick richtiger" gewesen.

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Was hat er zu beantstanden?

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a₃ ≠ 0,5·a₁ ,  sondern  a₃ = 0,75·a₁

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Hey ha jott, brauchst du immer erst die Nachfragen auf deine bewusst nichtssagenden Anmerkungen?

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nichtssagenden Anmerkungen

Sie scheinen ja für dich wirklich nichtssagend zu sein, aber jedem, der zu lesen versteht, erzählen sie einen ganzen Roman.
Der fängt etwa so an :
"In deinen Ausführungen ist etwas nicht ganz in Ordnung. Sieh sie dir noch mal an und berichtige sie.
Wenn ich selbst jetzt gleich eine detaillierte Fehleralalyse und -korrektur vornehmen würde, dann würde es ja so aussehen, als zweifelte ich an deinen mathematischen Fähigkeiten, würde dir nicht zutrauen den Fehler selbst zu finden und entsprechend zu verbessern. ... "

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a₃ ≠ 0,5·a₁ ,  sondern  a₃ = 0,75·a₁

Du hast Recht, hab den Fehler gefunden. Werde die Korrektur gleich beginnen. Ich danke Dir.

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Lol, was qualifiziert Dich ha jott denn für eine detaillierte Fehleranalyse? Aber gut, wenn Du dieses kleine Erfolgserlebnis brauchst, dann nehme ich es Dir nicht :-)