Beweis durch Ringschluss (Untersuchung von Abbildungen) (i) f ist injektiv , (ii) …

Question

ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

Zeigen SIe, dass folgende Aussagen äquivalent sind

Es sei f: X => Y

(i) f ist injektiv

$$ (ii) \forall A \subseteq X : f^-1(f(A))=A $$

$$ (iii) \forall A,B \subseteq X : f(A) \cap f(B) = f(A \cap B) $$

$$(iv) \forall A,B \subseteq X : A \cap B = \emptyset \to f(A)\cap f(B) =\emptyset $$$$(v) \forall A,B \subseteq X : A\subseteq B \to f(B\setminus A) = f(B) \setminus f(A) $$Ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus!

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Wo hakt es denn genau? Was hast Du schon gemacht?

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Also bisher hab ich folgendes Versuch:

$$ (i) \to (ii) \to (i) \to (iii) $$

Ich hab noch ein bisschen Probleme mit der exakten Formulierung also Entschuldige ich mich im Voraus schonmal.

$$ (i) \to (ii) \forall A \subseteq Y : (f^-1 o f)(A)=f^-1(f(A))=A \to (f^-1 of)= Id_A $$

$$(ii) \to (i) A_1,A_2 \subseteq Y"mit" f(A_1)=f(A_2) \to A_1 = Id_A(A_1)=(f-1 o f)(A_1)=f^-1(f(A_1))=f^-1(f(A_2))=(f^-1of)(A_2)=Id_A(A_2)=A_2$$

$$(i) \to (iii) f(A \cap B)=f(A) \cap f(B). "\subseteq" A \cap B \subseteq A\to f(A \cap B)\subseteq f(A),und  A \cap B \subseteq  \to f(A \cap B) \subseteq f(B)  aus"beiden \to f(A \cap B)\subseteq f(A) \cap f(B)."\supseteq" z \in f(A) \cap f(B), \exists a \in A: f(a)=z \land \exists b\in B : f(b)=z $$ 1. f ist injektiv, daher a=b $$ a \in A\cap B \to z=f(a)\in f(A \cap B)\to f(A \cap B) \supseteq f(A) \cap f(B)$$

Danach wollte ich aus (iii) auf (iv) schließen und dann auf (v) und wieder auf (i) aber ich bin mir meinen Beweisen unsicher gerade bei (ii). 

Answer 1

Bevor man es formal beweist solltest du es dir mal bildlich aufmalen, das hilft dann später in der beweiskette enorm weiter. Formal zeigst du die Äquivalenten in Elementenschreibweise. Aus x ∈ A folgt etc. 

Aber wie gesagt in deinem Fall bietet es sich es erstmal zu verbildlichen. 

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Also bisher hab ich folgendes Versuch:

$$ (i) \to (ii) \to (i) \to (iii) $$

Ich hab noch ein bisschen Probleme mit der exakten Formulierung also Entschuldige ich mich im Voraus schonmal.

$$ (i) \to (ii) \forall A \subseteq Y : (f^-1 o f)(A)=f^-1(f(A))=A \to (f^-1 of)= Id_A $$

$$(ii) \to (i) A_1,A_2 \subseteq Y"mit" f(A_1)=f(A_2) \to A_1 = Id_A(A_1)=(f-1 o f)(A_1)=f^-1(f(A_1))=f^-1(f(A_2))=(f^-1of)(A_2)=Id_A(A_2)=A_2$$

$$(i) \to (iii) f(A \cap B)=f(A) \cap f(B). "\subseteq" A \cap B \subseteq A\to f(A \cap B)\subseteq f(A),und  A \cap B \subseteq  \to f(A \cap B) \subseteq f(B)  aus"beiden \to f(A \cap B)\subseteq f(A) \cap f(B)."\supseteq" z \in f(A) \cap f(B), \exists a \in A: f(a)=z \land \exists b\in B : f(b)=z $$ 1. f ist injektiv, daher a=b $$ a \in A\cap B \to z=f(a)\in f(A \cap B)\to f(A \cap B) \supseteq f(A) \cap f(B)$$

Danach wollte ich aus (iii) auf (iv) schließen und dann auf (v) und wieder auf (i) aber ich bin mir meinen Beweisen unsicher gerade bei (ii).