Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Aktien

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Der Hersteller von Windkraftanlagen plant die Ausgabw neuer Aktien an der Börse. Das neue Papier ist sehr gefragt, es werden wesentlich mehr Aktien geordert als ausgegeben werden sollen. Deshalb wird beschlossen: Nur Anleger, die mind. 200 Aktiven geordert haben, werden berücksichtigt. Unter diesen Anlegern werden Aktienpakete zu 50 und zu 100 Aktien ausgelost. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele Aktien ein Käufer dieser Gruppe erhält.

a) Die Firma erwägt, nach dem nebenstehenden Plan die Aktien zu verteilen. Wie groß ist der Erwartungswert von X, wie groß ist die Standardabweichung?

xi	0	50	100
P(X=xi)	0,3	0,5	0,2

b) Der Vorstand berät die Alternativem den Anteil der Anleger, die mind. 200 Aktien geordert haben und keine Aktien in der Verlosung erhalten, auf 20% zu senken. Da die Gesamtzahl der anzugebenden Aktiven unverändert bleibem soll, müssen die Zuteilungskontigente für 50 und 100 Aktien geändert werden. Machen Sie einen Vorschlag.

Meine Lösung:

a) E(X) = 45

V (X) = 1225

σ (X) = 35

b) Hier habe ich leider ein Problem. Könnte mir jemand einen Ansatz geben?

LG

Answer 1

a) ist richtig.

b) Es muss P(X = 0) + P(X = 50) + P(X = 100) = 1 sein. Dabei soll P(X = 0) = 0,2 sein. Also

(1)        0,2 + P(X = 50) + P(X = 100) = 1.

Der Erwartungswert muss immer  noch 45 betragen, also

(2)        0·0,2 + 50·P(X = 50) + 100·P(X = 100) = 45.

Löst man dieses Gleichungssystem, dann bekommt man P(X = 50) = 0,7, P(X = 100) = 0,1.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe bloß eine Verständnisfrage: Wieso muss der Erwartungswert immer noch 45 betragen?

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Gleichung (2) soll eigentlich sicherstellen, dass die Anzahl der Aktien konstant bleibt.

Angenommen es gibt a Aktien und b Interessenten.

Die Anzahl der Interessenten, die ein 50er-Paket bekommen, ist dann P(X=50)·b. Dazu werden P(X=50)·b·50 Aktien benötigt.

Die Anzahl der Interessenten, die ein 100er-Paket bekommen, ist dann P(X=100)·b. Dazu werden P(X=100)·b·100 Aktien benötigt.

Das ergibt zusammen P(X=50)·b·50 + P(X=100)·b·100 Aktien. Da a Aktien zur Verfügung stehen, muss

        P(X=50)·b·50 + P(X=100)·b·100 = a

sein. Teilt man diese Gleichung duch b, dann bekommt  man

        P(X=50)·50 + P(X=100)·100 = a/b.

Dabei ist a/b die duchschnittliche Anzahl Aktien, die ein Interessent bekommt. Mit anderen Worten, a/b ist der Erwartungswert der Anzahl der Aktien. Und der ist, wie du festgestellt  hast, 45.