Ambiente Isotopie in der Scheibe

Question

Aufgabe (Ambiente Isotopie in der Scheibe):

Seien $\{*\}$ der Einpunktraum und $\iota_{0}, \iota_{1} : \{*\} \rightarrow \mathbb{D}^{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}\|x\|_{2} \leq 1\right\}$ Abbildungen mit $\iota_{0}(*)=0, \iota_{1}(*) \in \dot{\mathrm{D}}^{2}=\left\{x \in \mathbb{D}^{2}\|x\|_{2}<\right. 1 \}.$

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass $\iota_{0}, t_{1}$ ambient isotop sind via einer Isotopie $H: \mathbb{D}^{2} \times I \longrightarrow \mathbb{D}^{2}$ des Raumes $\mathbb{D}^{2},$ die den Rand festhält. Das heißt, für $x \in \mathbb{S}^{1}, t \in[0,1]$ gilt $H_{t}(x)=x$

a) Fertigen Sie eine Skizze an und entwickeln Sie eine geometrische Beschreibung, wie solch eine oben beschriebene Isotopie $H$ des Raumes $\mathbb{D}^{2}$ aussehen könnte.

b) Argumentieren Sie jetzt formal, indem Sie eine Abbildung $H: \mathbb{D}^{2} \times I \longrightarrow \mathbb{D}^{2}$ angeben und die oben genannten Eigenschaften nachweisen.