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brauche mal Hilfe.

Sei (X,d) ein metrischer Raum, A eine nicht-leere Teilmenge von X.

Sei f: X-->R,   f(x) = d(x,A) = inf {d(x,a) | a € A}

Laut Klausurkorrektur soll diese Funktion Lipschitz-Stetig sein, und da es eine Ankreuz-Aufgabe war, muss man das auf einen Blick sehen können.

Kann mir das wer erläutern?

Gruß

Jellal
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sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit d(x1, A) <= d(x2, A). Dann existieren y1 und y2 in A, sodass d(x1, A) = |x1 - y1| und d(x2, A) = |x2 - y2|. Es gilt |x1 - y1| <= |x1 - a| für alle a aus A, insbesondere also für y2:

|x1 - y1| - |x2 - y2| <= |x1 - y2| - |x2 - y2|

Da d eine Metrik ist, gilt die Dreiecksungleichung (in einer umgestellten Form):

|x1 - y2| - |x2 - y2| <= |x1 - x2|.

Das heißt, insgesamt gilt:

|x1 - y1| - |x2 - y2| <= |x1 - y2| - |x2 - y2| <= |x1 - x2|

und die Lipschitzstetigkeit der Metrik ist gezeigt.

MfG

Mister
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Hey nochmal, danke Dir!


Ich habe mir die Begründung nun selbst erschlossen, allerdings mit Papier, Bleistift und ein wenig Geometrie - du hast die formal korrekte Begründung geliefert :)


Gruß

Jellal
Hallo Jellal,

ein geometrischer Beweis ist auch ein Beweis. Und ein Blatt Papier ist ja im weitesten Sinne ein metrischer Raum (mit singulären Randpunkten).

MfG

Mister
"Dann existieren y1 und y2 in A, sodass d(x1, A) = |x1 - y1| und d(x2, A) = |x2 - y2|."

Mit \(\lvert x_1-y_1\rvert\) meinst du vermutlich \(d(x_1,y_1)\). Aber wieso sollten solche \(y_1\) und \(y_2\) existieren?
Ja stimmt, ich meine mit |x1 - y1| eigentlich d(x1, y1).

Und der Satz muss eigentlich lauten:

"Dann existieren y1 und y2 in X, sodass d(x1, A) = d(x1, y1) und d(x2, A) = d(x2, y2)."

Denn A muss ja nicht, wie du vermutlich anmerken würdest, abgeschlossen sein.
Auch das muss nicht stimmen. Betrachte \(X=\{-1\}\cup(0,1)\) mit der induzierten Standardmetrik (Betrag), \(A:=(0,1)\) und \(x_1=-1\). Dann ist \(d(x_1,A)=1\), aber dieses Infimum wird nicht angenommen.
Nun ist aber jeder metrische Raum vervollständigbar, sodass X ↦ {- 1} ∪ [0, 1] abgebildet werden kann. Nennen wir dies nun X', so ist der Satz so zu schreiben:

"Dann existieren y1 und y2 in einer Vervollständigung X' von X, sodass d(x1, A) = d(x1, y1) und d(x2, A) = d(x2, y2) in X'."

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