Binomialkoeffizient und Binomischer Lehrsatz beweis

Question

Ich muss folgendes Zeigen:

Bei uns im Skript steht;

 \(  (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix}a^{k}b^{n-k}}} \)

Meine Idee wäre:

 \((1+x)^{n+m}=\sum_{k=0}^{n}{{\begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix}x^k}*\sum_{k=0}^{n}{{\begin{pmatrix} m\\k\\ \end{pmatrix}x^k}}} =\sum_{k=0}^{n}{{\begin{pmatrix} n+m\\k\\ \end{pmatrix}x^k}}=(1+x)^{n+m}\)

Aber das scheint nicht zu stimmen.. Kann mir da jemand weiter helfen?

Answer 1

Tipp: $$ \left(\sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right)\cdot \left(\sum_{j=0}^{n} b_j x^j \right)= \sum_{r=0}^{m+n}\left(\sum_{k=0}^{r} a_kb_{r-k} \right)x^r \\$$

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