Zeigen Sie, dass N0 abzählbar unendlich ist, und begründen Sie, dass dann auch N0 x N0 abzählbar ist.

Question

Sei ℕ₀ = ℕ ∪ {0} die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 und ℕ₀ x ℕ₀ = {(k; l) : k; l ∈ ℕ₀}.

a) Zeigen Sie, dass ℕ₀ abzählbar unendlich ist, und begründen Sie, dass dann auch ℕ₀ x ℕ₀ abzählbar ist.

b) Zeigen Sie die Abzählbarkeit von ℕ₀ x ℕ₀ direkt mit dem Cantorschen Diagonalverfahren.

Comments

Wie habt ihr "abzählbar" definiert?

Vielleicht mit N und nicht mit No?

Tipp:

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge 

Answer 1

a) f: No -> N, f(x):= x+1 ist eine bijektive Abbildung.

Gemäss Definition von "abzählbar unendlich" ist No somit "abzählbar unendlich".

b)

Wenn https://www.mathelounge.de/488232/sei-f-n0-n0-n0-gegeben-durch-f-k-2l-zeigen-sie-dass-bijektiv-ist stimmt , kannst du die Umkehrabbildung von dieser Aufgabe nehmen.

Alternative: Benutze das Beispiel NxN in der Wikipedia und passe es geschickt an deine Aufgabe an. https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge#Paare_nat.C3.BCrlicher_Zahlen