Stetige Funktionen bilden Unterraum

Question

wie kann ich folgendes beweisen?

Seien a,b ∈ ℝ mit a < b. Die Menge C_[a,b] aller stetigen Funktionen f: [a, b] → ℝ bilden einen Unterraum des Vektoraumes ℝ_[a,b] aller auf [a,b] definierten reelwertigen Funktionen.

Ich weiss, was die Unterraumeigenschaften sind (C darf nichtleer sein, C muss den 0-Vektor enthalten, Additivität und Homogänität muss ich hier zeige). Leider habe ich keine Ahnung wie ich das auf stetige Funktionen in einem Intervall anwende. Ich bin also über jeden Tipp dankbar.

Comments

Ich weiss, was die Unterraumeigenschaften sind (C darf nichtleer sein, C muss den 0-Vektor enthalten, Additivität und Homogänität muss ich hier zeige)

So recht Bescheid weisst Du eher nicht. \(C\ne\emptyset\) und \(0\in C\) musst Du nicht beides nachpruefen. Ein Punkt reicht. Und Additivitaet und Homogenitaet musst Du nicht zeigen. Von was auch? Stattdessen ist die Abgeschlossenheit von \(C\) unter Addition und skalarer Multiplikation zu pruefen.

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bitte entschuldige, das meinte ich doch.

Wie kann man das aber mit Stetigkeit zeigen

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Formuliere doch erstmal praezise, was Du ueberhaupt zeigen moechtest.

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f(a)=0 und g(a)=0 --> 0 ist Element aus C

f(a)+g(a) = 0 + 0 = 0

(f+g)(a)= f(g(a)) = f(0)

r * f(a) = r * 0 = 0

aber so einfach kann es doch nicht sein oder?

Wie kann ich es mit Stetigkeit zeigen

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Kannst Du ein paar Beispiele für Elemente von C anfuehren?

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Wie meinst du das? die Elemente sind in dem Intervall.

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Die Elemente von C sind die auf [a, b] stetigen Funktionen ...