Definition. Eine Menge T heißt Teilmenge einer Menge M, wenn a ∈ T ⇒ a ∈ M für jedes a gilt.
Definition. Eine Abbildung f: M→N heißt injektiv, wenn f(a) = f(b) ⇒ a=b für alle a,b∈M gilt
Definition. Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine injektive Abbildung f: M→ℕ gibt.
Definition. Ist f: M→N eine Abbildung und ist T⊆ M, dann ist f|T: T→N die Abbildung von T nach N, für die x↦f(x) für alle x∈T gilt . Sie heißt Einschränkung von f auf T.
Satz. Ist f: M→N injektiv und ist T⊆ M, dann ist f|T injektiv.
Beweis. Seien a,b ∈ T mit f|T (a) = f|T (b). Wegen f|T (a) = f(a) und f|T (b) = f(b) ist dann auch f(a) = f(b). Weil f injektiv ist, ist dann a = b.
Korrolar. Sei M eine abzählbare Menge und ∅ ≠ A ⊆ M. Dann ist auch A abzählbar.
Beweis. Sei f: M→ℕ injektiv. Dann ist f|A injektiv.
