Das soll wohl " auf der Grundfläche stehenden Vektors " heißen.
Ein solcher ist axb. Und die Höhe des Spats ist die Projektion von c auf axb oder
wie ihr es wohl über die orthogonale Zerlegung macht, also c als Summe eines
Vielfachen von axb und eines dazu orthogonalen Vektors z darstellen, dann ist
c = x*(axb) + z und dabei ist die Länge von x*(axb) die Höhe
also h = | x*(axb) | = | x | * | (axb) | #
Es ist das Skalarprodukt
< axb,c> = < axb, x*(axb) + z> = < axb, x*(axb)> + < axb, z>
= x * < axb, axb> + < axb, z>
Der 2. Summand ist 0 ( wegen orthogonal ! ) also ist
< axb,c> = x*< axb, axb> = x * < axb, axb> ##
Und es ist das Volumen V = G * h dabei ist G die Fläche des von a und b aufgespannten
Parallelogramms, und das ist ja gerade der Betrag von axb. Also hast du
insgesamt V = | axb | * h also mit #
= | axb | * | x | * | (axb) |
= | x * < axb, axb> | mit ## also
= | < axb,c> | q.e.d.
