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Bestimmen sie zu w=u+iv ∈ ℂ alle z=x+iy ∈ ℂ mit z^2=w wobei x,y ∈ ℝ. In den Formeln für x,y sollen nur u,v ∈ ℝ.

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Bestimmen sie zu w=u+iv ∈ ℂ alle z=x+iy ∈ ℂ mit z2=w

wobei x,y ∈ ℝ. In den Formeln für x,y sollen nur u,v ∈ ℝ.

 z2=w  und  z=x+iy

==>  (x+iy)2 =  u+iv

==>  x2+2xyi -y2 =  u+iv

==>  x2 -y2 +2xyi =  u+iv

==>  u = x2 -y2         und  v=2xy   für  x≠0

                                   y = v/(2x)

            u = x2 - v2 / (4x2)

             (4x2)* u =(4x2) * x2 - v

      (4x2)* u =(4x4) - v2   

            0 =(4x4)  - 4ux2 - v2   

           0 =(4x4)  - 4ux2  +u2 - u2 - v2   

          0 =(2x2 - u )2 - u2 - v2       

         u2 + v2        =(2x2 - u )2

      ±√( u2 + v2 ) = 2x2 - u

      u ±√( u2 + v2 ) = 2x2 

      ( u ±√( u2 + v2 )) / 2  = x2    #

         Da für v≠0 immer √( u2 + v2 ) > |u| 

      ist in dem Fall  u - √( u2 + v2 ) immer negativ, so dass

es kein reelles x gibt, das  # erfüllt. Deshalb bleibt nur 

   ( u  + √( u2 + v2 )) / 2  = x2 

also   x = ±√ (   ( u  + √( u2 + v2 )) / 2  )  = ±√ (2(u + √(u2 + v2) ))  /2

und mit y = v/(2x) bekommt du das y.

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