Zeige , dass e^x(cos(y) + i sin(y)) = ∑z^n/n! für alle z = x + iy ∈ ℂ gilt

Question

Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme:

z.z. e^z := e^x(cos(y) + i sin(y)) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^n/n!} \)   für alle z = x + iy ∈ ℂ

Ich habe den Hinweis erhalten, dass man es mit der Taylorreihe von sinus, cos und der e^x sowie mit dem Cauchy - Produktsatz die Gleichheit zeigen kann.

Ich bin über jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Denk doch mal logisch mit den Hinweisen die du hast.

Du hast da stehen, dass e^{z}  = e^{x}(sin(y) + i cos(y)) sein soll. Was ist denn sin(y) + i cos(y) per Definition? Vielleicht ist das e^{iy}? Und wenn das e^{iy} ist, was ist dann davon die Reihe? Und was passiert dann wenn du genau diese Reihe mit der von e^{x} multiplizierst?