Beweis vom kleinen Fermat

Question

Hi, ich hab folgende Aufgabe und weiß nicht wie man sie löst. Ich hab schon überall im Internet gesucht, entweder gibt es dazu nix, oder vielleicht weiß ich noch nichtmal wonach ich suchen muss. Wäre nett wenn das jemand lösen könnte am besten mit Erklärung. Danke

Sei (G,∗) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und sei g∈G ein beliebiges Element.

(1) Zeigen Sie, dass es ein k∈N* gibt, sodass g^k = e ist.

Da hab ich

eⁿ = (g^k )ⁿ = g^k*n= g^k*n= (gⁿ)^k = 1^k = 1. Stimmt das?

Mit der Aussage von (i) können wir ord(g), die Ordnung von g, als das kleinste k∈N∗ mit g^k = e definieren.

(2) Seien i, j ∈ Z. Zeigen Sie, dass gⁱ = g^j ⇔ i ≡ j (mod ord(g)) und dass die von g erzeugte Untergruppe ord(g) viele Elemente besitzt.

(3) Benutzen Sie den Satz von Lagrange um zu zeigen dass ord(g) die Gruppenordnung |G| teilt. Zeigen Sie nun mit (iii) den kleinen Satz von Fermat.

Die anderen beiden kann ich nicht, wie gesagt.

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Vom Duplikat:

Titel: Schrittweiser Beweis vom kleinen Fermant mit Gruppenteoretischen Ansatz

Stichworte: beweis,gruppentheorie,fermat

Hallo an alle die das hier lesen,

Ich kämpfe mich gerade durch eine der ersten Hausübungen von meiner Mathe Vorlesung. Doch ab hier bin ich völlig überfragt. Die (i) konnte ich noch mehr schlecht als recht lösen, aber bei der (ii) bin ich am Verzweifeln. Ich weiß zwar das ich das für beide Richtungen beweisen muss, aber mir ist noch nicht mal ganz klar welchen Wert ord(g) überhaupt hat...ich dachte das ist eine Gruppe :(.

Schon mal für das angucken der Aufgabe. Ich hoffe es kann mir wer helfen.

Grüße Magi

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Vom Duplikat:

Titel: zweiter beweis vom fermat

Stichworte: fermat,beweis,kongruenz,gruppentheorie

Wir wollen im folgenden den kleinen Satz von Fermat nochmal beweisen, aber diesmal mit mehr gruppentheoretischen Einsatz. Für den Beweis brauchen wir folgende Vorbereitung: Sei (G, ∗) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und sei g ∈ G ein beliebiges Element. (i) Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N ∗ gibt, sodass g k = e ist. Mit der Aussage von (i) können wir ord(g), die Ordnung von g, als das kleinste k ∈ N ∗ mit g k = e definieren. (ii) Seien i, j ∈ Z. Zeigen Sie, dass g i = g j ⇔ i ≡ j (mod ord(g)) und dass die von g erzeugte Untergruppe ord(g) viele Elemente besitzt. (iii) Benutzen Sie den Satz von Lagrange (aus G4) um zu zeigen dass ord(g) die Gruppenordnung |G| teilt. Zeigen Sie nun mit (iii) und G2 den kleinen Satz von Fermat

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EDIT: Kontrolliere bitte, ob deine andern beiden Fragen nicht auch schon eingestellt und beantwortet wurden.

Answer 1

(1) Zeigen Sie, dass es ein k∈N* gibt, sodass g^k = e ist.

Da hab ich

eⁿ = (g^k )ⁿ = g^k*n= g^k*n= (gⁿ)^k = 1^k = 1. Stimmt das?   NEIN, was soll das n sein

und wieso weisst du, dass gⁿ = 1  ( bzw. e )  ist .

Versuch es mal so:   Sei n die Anzahl der Elemente von G.

Sei nun  g∈G ein beliebiges Element.

Dann betrachte für alle i ∈ ℕ alle Produkte mit k gleichen Faktoren g,

also alle gⁱ . Da es nur endlich viele Elemente in G gibt, müssen sich irgendwann

welche wiederholen, d.h. :  Es gibt i und  h mit  i<h  und   gⁱ = g^h .

also     gⁱ = g^i+k .   wobei k=h-i > 0 ist.

also gilt      gⁱ = gⁱ  *g^k .    Und weil G eine Gruppe ist, besitzt gi auch ein (Links)Inverses  (gⁱ)^-1

Wenn du die letzte Gleichung von links damit multiplizierst, hast du

 (gⁱ)^-1 *       gⁱ =     (gⁱ)^-1 * (  gⁱ  *g^k   )

also nach Def. von e und Assoziativität

<=>   e =  ( (gⁱ)^-1 *  gⁱ    ) *g^k

<=>   e =  g^k  . Das ist das gesuchte k.

Betrachte bei 2) die Differenz von i und j  (größeres minus kleineres).

und bei 3) zeige, dass die Potenzen von g, von hoch 1 bis hoch k (wie in (1))

eine Untergruppe bilden.

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Wie kommt man auf sowas? Also alleine...ich seh da keine Sonne das jemals so hinzubekommen ^^. Aber danke vielmals :)

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Der Kern war eigentlich nur der Anfang:

endlich viele ==>  irgendwann muss sich in der Folge der

Potenzen was wiederholen.

Mach dich mal nicht verrückt, das wird schon.