Wie zeige/untersuche ich ,dass die folgenden Mengen Untervektorräume sind?

Question

die Aufgaben hänge ich als Anhang in einem Bild an.

a) habe ich zwar soweit gelöst, jedoch habe ich dort mit mehreren wegen verschieden Ergebnisse daher würde ich gern eure Lösungswege dazu sehen oder die Ansätze wie ihr dies lösen würdet.

b) da habe ich leider kaum Ahnung. Das wurde in der Übung auch nicht weiter besprochen da die Zeit rum war daher frage ich hier mal wie man bei sowas vorgeht.

Vielen Dank :)

im Bild geht es nur um die Aufgabe H34 

Answer 1

du hast die Untervektorraumkriterien zu überprüfen.

i) U ist nichtleer

ii) sind u und w element von U, so muss

auch (u+w) element  U sein

iii) ist u element w, so ist auch α*u element w, wobei α element des dazugehörigen Körpers ist.

Schauen wir mal b) an:

Die Elemente des Raums sind Funktionen.

Einige Beispiele wären 

f(x)=0

f(x)=x+1

f(x)=e^{x} -e^{-1}

Hauptsache es gilt f(-1)=0

i) ist damit geklärt, der Raum ist nicht leer

ii) betrachte 2 Funktionen f und g mit f(-1)=g(-1)=0

So ist (f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=0

wegen der punktweisen Addition.

Also liegt f+g in U.

iii) geht genauso:

es ist α*f(-1)=α*0=0

aufgrund der üblichen  Multiplikation.

Also ist α*f element von U.

Comments

ok soweit versteh ich das bis auf die punktweise Addition.

Wie  komme ich darauf das f(-1) = g(-1) = 0

also woher nehme ich g(-1)?