0 Daumen
1,6k Aufrufe

Es seien X = {1, 2, 3, 4} und Sym(X) die Gruppe der Bijektionen f : X → X mit der Komposition von Abbildungen als Verknupfung. Welche der folgenden Teilmengen Ui , i ∈ {1, . . . , 5}, von Sym(X) sind Untergruppen von Sym(X)? 


U2 = { f ∈ Sym(X) | f(1) ∈ {1, 2} }

U4 = { f ∈ Sym(X) | f ◦ f = idX}.

  kann jmd. mir bei der Aufgabe helfen ? Ich habe leider keinen Ansatz und weiß nur ,dass ich zuerst zeigen muss, ob idx in U liegt..


bei U2 habe ichs probiert zu beweisen, ob idx in U , da aber f bijektiv ist, und idx(1)=1 v idx(1)=2 liegt idx nicht in U oder?

MfG

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

U2 ist keine Untergruppe.

Denn wenn du ein f hast mit f(1)=2  und f(2) = 3  dann ist f ∈ U2 ,

aber es ist fof(1) = f(2) = 3   Also nicht wieder in U2.

Also U2 nicht abgeschlossen.

Bei U4 musst du ja nur zeigen:

 id ∈ U4 und

zu jedem f  ∈ U4  auch f-1  ∈ U4  und

Abgeschlossenheit ,

1. ist klar

2. auch klar, weil  f-1 o  f-1  = (fof) -1 = id -1 = id.

3. ist aber falsch. Gegenbeispiel

f:    1 ---> 2
      2 ---> 1
      3 ---->  4
      4 ---->  3

g:    1 ---> 3
      2 ---> 4
      3 ---->  1
      4 ---->  2

Avatar von 287 k 🚀

Dein "Gegenbeispiel" ist zwar keins, aber 3. ist trotzdem falsch.

Ich dachte es stimmt:

f und g sind Bijektionen von X nach X

(Auf den ausführlichen  Nachweis verzichte ich, kann ihn aber

nachliefern.)

Außerdem gilt fof = id und gog=id

fog  ≠  id

1  ---> 3  ---> 4
2  ---> 4 --->  3
3 --->  1 ---> 2
4 --->  2 ---> 1

Vielleicht kann hj2166 seinen Kommentar

etwas präzisieren ?

Es ist nicht   f o g  =  id   zu testen, sondern ob   f o g  ∈  U4  ist.

Ah ja, danke für den Tipp.

Also braucht man was, bei dem

( f o g  ) o  ( f o g  ) ungleich id ist.

Denn wenn du ein f hast mit f(1)=2  und f(2) = 3  dann ist f ∈ U2 


mhmm ,wieso kommt man auf f(2)=3 ?

kannst du mir vil. zeigen, welche Schritte ich für den Beweis brauch? Danke

Bei U2 brauchst du ja nur eine Funktion, die bei

Hintereinanderausführung mit sich selbst nicht mehr in U2 ist.

Hättest auch z.B. f(2)=4 nehmen können.

was passiert, wenn bei U2 anstatt f(1) element 1,2 f(1),f(2)= 1,2 gilt?

also ich habs versucht mit f(1)=1 und f(1)=2 f(2)=1 und f(2)=2 zu beweisen, dass f element U ist und mit f o g^-1(1)=2 f o g^-1(2)=1 fog^-1(2)=2 zu zeigen, dass  fog^-1 element U ist . Stimmt das ?

Wieso hast du g^-1 genommen ?

hab ja angenommen, dass f,g Element U ist und wollte zeigen dass f o g^-1 element U ist.  In der Vorlesung haben wir das so gemacht..

hab mir gerade auch die Def. von Untergruppenkriterium angeschaut, da muss man eig. auch g^-1 nehmen um zu prüfen, ob f o g^-1 in U liegt

OK, damit sparst du dir den Nachweis von id ∈ U und zu jedem

f auch f-1 ∈ U.

Allerdings musst du das dann - so denke ich - mit einer vollständigen Fallunterscheidung machen, etwa so:

Seien f und g aus U.

Dann gilt    f o g-1(1)=f(1) oder   f o g-1(1)= f(2)

Da das g-Urbild von 1 nur 1 oder 2 sein kann.

Da aber sowohl f(1) als auch f(2) aus {1;2} sind, ist also

jedenfalls  f o g-1(1) aus  {1;2}

Entsprechend folgt   f o g-1(2) aus   {1;2} , also

ist  f o g-1  aus U.

genauso habe ich aufm Blatt gemacht! Vielen Dank für deine Hilfe!

Also braucht man was, bei dem

( f o g  ) o  ( f o g  ) ungleich id ist.

mit meinem Beweis habe ich ,dass ( f o g  ) o  ( f o g  )=id ist ,da id bijektiv ist und ( f o g  ) o  ( f o g  ) durch Permutation auch bijektiv ist. hab (1,2,3,4->2,1,4,3)o(1,2,3,4->3,4,1,2)=(1,2,3,4->4,3,2,1). Das Ergebnis ist schon bijektiv oder? mache ich da was falsche?


Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community