Zwei reelle Zahlen x1 und x2 sind genau dann Lösungen einer quadratischen Gleichung - beiweisen

Question

Beweisen Sie den folgenden Satz:

Zwei reelle Zahlen x1 und x2 sind genau dann Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form x2 + px + q =0, falls für die Koeffizienten

p,q Folgendes gilt:

•  p = −(x1+x2)

und

•  q = x1 · x2.

Hinweis: Beachten Sie, dass der Satz eine „genau-dann-wenn“-Aussage beinhaltet.

Answer 1

Hallo gboil,

da zwei reelle Zahlen immer  Lösungen  (irgend-)einer quadratischen Gleichung der Form  

 x² + px + q = 0 sind, ist der Aufgabentext seltsam formuliert.

Seien p, q , x₁ , x₂ ∈ ℝ  

x₁ und x₂ sind Lösungen der quadratischen Gleichung der  x² + px + q = 0  

gdw    x² + px + q  =  (x - x₁) _* (x - x₂)                        f.a x∈ℝ

gdw    x² + px + q  =  x² - x_1 * x - x_2 * x + x_1 * x₂        f.a x∈ℝ

gdw    x² + p _* x + q  =  x² - (x₁ + x₂) _* x + x_1 * x₂    f.a x∈ℝ

gdw       p =  - (x₁ + x₂)   und  q = x_1 * x₂  

Gruß Wolfgang