Durchschnitt von Unterräumen

Question

wie zeigt man, ob die Gleichheit in der folgenden Aufgabe richtig oder falsch ist?

K Körper, V Vektorraum und U1, U2, U drei Unterräume von V

$$ U \cap (U1+U2) = (U \cap U1)+(U \cap U2) $$

Habe bereits versucht beide Seiten separat zu betrachten, aber bekomme nichts Vernünftiges raus.

Gruß

Comments

Was soll das \(+\) bedeuten?

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Damit sollte die Summe von U1 + U2 sowie die Summe der beiden Schnitte von U mit U1 und U mit U2 auf der rechten Seite der Gleichung gemeint sein.

Answer 1

> wie zeigt man, ob die Gleichheit in der folgenden Aufgabe richtig oder falsch ist?

Man stellt zunächst eine Vermutung auf, ob die Gleichheit wahr oder falsch ist.

Ich vermute sie ist falsch. Also suche ich konkrete Beispiele für U, U₁ und U₂ so dass

        U∩(U₁+U₂) ≠ (U∩U₁)+(U∩U₂)

ist. Dazu bietet sich ℝ³ an, weil ich mir den gut vorstellen kann und dessen Unterräume kenne: {0}, Ursprungsgeraden, Ursprungsebenen und ℝ³.

Wenn U₁ und U₂ verschiedene Geraden sind, dann ist (U₁+U₂) eine Ebene. Liegt die Gerade U in dieser Ebene, dann ist U∩(U₁+U₂) = U.

Ist darüber hinaus U≠U₁ und U≠U₂, dann ist U∩U₁ = U∩U₂ = {0}. Also ist dann auch (U∩U₁)+(U∩U₂) = {0}.