Schubfachprinzip. (xi,yi,zi) für 1 ≤ i ≤ 9 verschiedene Punkte im R^3 mit ganzzahligen Koordinaten.

Question

Seien (xi,yi,zi) für 1 ≤ i ≤ 9 verschiedene Punkte im R^3 mit ganzzahligen Koordinaten. Zeigen Sie, dass mindenstens für ein Paar von Punkten der Mittelpunkt des durch sie definierten Liniensegments auch ganzzahlige Koordinaten hat.

Answer 1

Hallo Lara,

eine ganzzahlige Koordinate ist entweder eine gerade \(g\) oder eine ungerade \(u\) Zahl. Nun mache 8 Schubfächer auf, für alle 3'er Kombinationen mit Reihenfolge von \(g\) und \(u\):

1. Schubfach: \(g-g-g\)

2. Schubfach: \(g-g-u\)

3. Schubfach: \(g-u-g\)

4. Schubfach: \(g-u-u\)

usw. bis

7. Schubfach: \(u-u-g\)

8. Schubfach: \(u-u-u\)

Wenn Du nun jeden der Punkte in das Schubfach legst, in dem die Folge von geraden und ungeraden Zahlen mit seinen drei Koordinaten übereinstimmt - z.B. \(P(8,7,9) \rightarrow g-u-u\) in das 4.Schubfach - so werden zwangsläufig in einem der Schubfächer am Ende mindestens zwei Punkte liegen, da es 8 Fächer und 9 Punkte sind.

Folglich gibt es mindestens zwei Punkte mit gleicher Folge von geraden und ungeraden Koordinaten. Der Mittelpunkt berechnet sich aus der Summe der Koordinaten geteilt durch 2. Da die Summe zweier ungeraden und die Summe zweier geraden Zahlen stets eine gerade Zahl ist, besteht der Mittelpunkt der Punkte aus dem gemeinsamen Fach nur aus ganzzahligen Koordinaten.