Vollständige Induktion: Ungleichung mit Fakultät zeigen

Question

Hi, ich hab ein paar Übungsaufgaben und wollte wissen ob das, was ich gemacht habe richtig ist.

1) Beweis durch induktion, dass 2ⁿ < n! für alle n ≥ 4

Sei A(n) : 2ⁿ < n!

IA: Für n = 4 gilt: 2⁴ = 16 < 24 = 4! also ist A(n) wahr.

IV: Es gelte A(n) für ein n ∈ ℕ mit n ≥ 4

IS: Zeige, dass A(n+1) wahr ist:

2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ < (n+1) * 2ⁿ < (n+1) * n! = (n+1)!. Damit ist A(n+1) wahr und die Behauptung A(n) ist wahr für alle n ≥ 4 Kann ich das so schreiben?

Answer 1

Dein Beweis ist korrekt.

Ein Hinweis darauf, wo du welche Voraussetzung benutzt, wäre nicht schlecht:

        \(2^{n+1} = 2\cdot 2^n \stackrel{n\geq 4}{<} (n+1) \cdot 2^n \stackrel{\text{IV}}{<} (n+1) \cdot n! = (n+1)!\)

Comments

Kann ich das denn einfach so über < darüber schreiben? Danke für deine Antwort.

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Also ich kann das. Dann kannst du das sicherlich auch. Und \(\LaTeX\) hat dafür extra einen Befehl: \stackrel.

Aber auch ohne  solchen Firlefanz sieht man, dass du vollständige Induktion verstanden hast und anwenden kannst.