Problem bei der vollständigen Induktion mit Fakultät. ∏ (2i-1) = ((2n)!) / (2n •n!)

Question

n
∏ (2i-1) = ((2n)!) / (2ⁿ •n!)
ⁱ⁼¹

Das ist die Aufgabenstellung und ich bin mittlerweile soweit, das ich für den Induktionsschritt an das Rechte eben (2*(k+1)-1) dran multipliziert habe zu
(2k)!  _{•(2•(k+1)-1)}
2^k•k!  
komme aber mit keiner Umformung der Welt auf die linke Seite, auf der steht:
     (2k+2)!  
2^(k+1)•(k+1)

^{Please help ^^}

Answer 1

Induktionsschritt:

$$\prod_{i=1}^{n+1} (2i-1) = \prod_{i=1}^{n} (2i-1) \cdot (2n+1)  = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!} \cdot (2n+1)$$

$$\space = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!} \cdot \frac{2(2n+1)(n+1)}{2(n+1)} = \frac{(2(n+1))!}{2^{n+1} (n+1)!}$$

q.e.d.

Gruß Werner

Comments

Ich ziehe meinen Hut und bedanke mich herzlich... nachdem ich auf 4 Din A4 Seiten verzweifelt bin, ist es so simpel... Darf ich noch fragen, wie man darauf kommt,
^{2(n+1)
2(n+1)}

^{Dazu zu multiplizieren? Würde das gerne verstehen ^^}

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... man kommt darauf indem man in \(\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}\) den Wert \(n\) durch \((n+1)\) ersetzt

$$\frac{(2(n+1))!}{2^{(n+1)} \cdot (n+1)!}$$

und anschließend versucht, in diesem Term wieder den Faktor \(\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}\) zu finden. ;-)

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Also wie es mir scheint, ist die vollständige Induktion so ein kleines bisschen Rätselraten. ^^
Danke sehr und dann mal auf zu den nächsten Aufgaben, um es bei denen selbst rauszufinden =) Danke vielmals nochmal =)

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einer meiner Profs sagte einst: "intelligentes Probieren"

das obige war mein erster und einziger Versuch. Mathematik lernt man eben nicht durch zusehen, man muss sie machen! Dann flutscht es irgendwann.