Beweisen : (multiplikativ inverses Element)

Question

Sei Mat2×2 (K) die Menge alle (2×2)-Matrizen mit Koeffizienten in K. Beweisen Sie:
 

Answer 1

Berechne \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \).

Ergebnis sollte \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) sein. Das heißt dann, dass  \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) ein Inverses von \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Dieses existiert offensichtlich nur, wenn ad-bc ≠ 0 ist, weil durch 0 nicht dividiert werden kann.

Gezeigt werden muss noch, dass es kein anderes Inverses geben kann. Dazu: Ist

        B·A = E,

mit der Einheitsmatrix E und einer beliebiger Matrix B, dann ist

        (B·A) · A^-1 = E·A^-1

also auch

        B · (A·A^-1) = E·A^-1

weil die Matrixmultiplikation assoziativ ist. Wegen A·A^-1 = E und E·A^-1 = A^-1 ist dann

        B·E = A^-1

und wegen B·E = B (Neutralität der Einheitsmatrix) muss dann

        B = A^-1

sein.