Sei (vj)j∈J eine nichtleere Familie aus einem K -Vektorraum V. Gültigkeit de Aussagen nachweisen.

Question

Sei (v_j)_j∈J eine nichtleere Familie aus einem K -Vektorraum V.

Es bezeichne K ^(J) die Menge aller Familien (α_j) _j∈J aus K derart, dass höchstens endlich viele der α _j, j∈J , von 0 verschieden sind, sowie f : K ^{( J )} → V die gemäß ( α _j ) _{j ∈ J} ↦∑ _{j ∈ J}  (α_j v_j) definierte Abbildung. Weisen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen nach:

(a) Es ist ( v _j ) _{j ∈ J} genau dann ein Erzeugendensystem von V , wenn f surjektiv ist.

(b) Es ist ( v _j ) _{j ∈ J} genau dann linear unabhängig, wenn f injektiv ist.

(c) Es ist ( v _j ) _{j ∈ J} genau dann linear unabhängig, wenn f injektiv ist.

Ich hab leider keine Ahnung wie man das nachweisen kan...