V und W sind Vektorräume. sei {v1,v2,v3,...} ein linear unabhängiges Erzeugungssystem von V.

Question

V und W seien K-Vektorräume. Eine Abblidung f: V→W heißt K-linear, falls für alle α₁,α₂∈K und v₁,v₂ ∈V gilt

f(α₁v₁+α₂v₂)= α₁f(v₁)+α₂f(v₂)

 

sei {v₁,v₂,v₃,...} ein linear unabhängiges Erzeugungssystem von V.

a.) zeige : f ist genau dann injektiv, wenn {f(v₁), f(v₂),f(v₃),...} linear unabhängig ist.

 

b) zeige: f ist genau dann surjektiv, wenn {f(v1), f(v2),f(v3),...} ein Erzeugungssystem von W ist.

 

Ich habe mit dem Begriff Erzeugungssystem Schwierigkeiten ich weiß, dass es ein System ist , das aus einer Ausgangsmenge und einer oder mehreren Erzeugungsregeln besteht.

Und wie kann ich diese Aufgabe lösen?

Ich freue mich schon, wenn mir jemand auch nur einen Teil erklären kann :)

Answer 1

Es geht darum, dass du über einen Homomorphosmus, bzw. eine Lineare Abbildung sehr viel aussagen kannst, wenn du weißt was auf den Basisvektoren passiert.

Intern einer gegebenen Basis kannst du jeden Vektor eindeutig durch Linearkombinationen darstellen, da eine Basis eben erzeugt und linear unabhängig ist

Schmeißt du da jetzt nen Homomorphismus drauf und die Bilder der Basisvektoren sind wieder linear unabhängig, dann hat jedes Element im Zielraum eine ebenso eindeutige Darstellung als Linearkombination, d.h. jeder Vektor im Zielraum hat maximal ein Urbild (also injektiv)

Sind die Bilder der Basis hingegen wieder Erzeugendensystem, dann kannst du alle Vektoren im Zielraum mit Linearkombiantionen darstellen, aber diese müssen nicht mehr eindeutig inter des EZS sein (also surjektiv)

hoffe das hilft dir

Comments

ist schon ein Anfang vielen Dank :)

ich weiß leider immer noch nicht wie ich das dann praktisch mache...

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Okay ich rechne es dir einmal vor, wenn du das nicht willst bitte Kommentar nicht weiterlesen :P

 

Sei v∈V, {v_i} eine Basis von V, dann gibt es eine eindeutige Darstellung von v intern der Basis, also

v=∑a_iv_i mit geeigneten a_i∈K

Sei f injektiv:

f(v)=f(∑a_iv_i)=∑f(a_iv_i)=∑a_if(v_i), ∑a_if(v_i)=0 ⇔a_if(v_i)=0 für alle i, da v_i alle nicht 0 sind, f(0)=0 und f injektiv sind alle f(v_i) ungleich 0, also müssen alle a_i=0 sein ⇔ {f(v_i)} linear unabhängig

Sei {f(v_i)} linear unabhängig :

∑a_if(v_i)=0 ⇔a_i=0 für alle i ⇒ (f(∑a_iv_i)=0 ⇔ a_i=0 für alle i) ⇒ (f(v)=0 ⇔ v=0) ⇔ f ist injektiv

 

Sei f surjektiv:

Jedes Element w∈W hat ein Urbild f^-1({w}), sei {wj} Erzeugendensystem von W, betrachte {f^-1({wj})} Stelle diese als Linearkombination intern {v_i} dar

f^-1({w_j})=∑a_i,jv_i, f(∑a_i,jv_i)=∑a_i,jf(v_i) für alle j, also ist {w_j} durch {f(v_i)} erzeugt, also ist {f(v_i)} Erzeugendensystem von W

 

Sei {f(v_i)} Erzeugendensystem von W:

⇒ Jedes w∈W ist darstellbar durch eine Linearkombination ∑a_if(v_i) mit geeigneten a_i∈K

∑a_if(v_i)=f(∑a_i(v_i)), also hat jedes w ein Urbild unter f, also f surjektiv

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vielen vielen Dank, ich werde einen moment brauchen bis ich das nachvollzogen habe ,, aber auf jeden falss vielen Dank :)