Rechnen mit ganzen Zahlen

Question

Ich finde zu der Aufgabe leider keinen passenden Anfang. Wie genau muss ich vorgehen? 

Comments

Satz 5.5 und Definition 5.7 schon konsultiert? 

Vielleicht findest du dort einen Ansatz für deine Rechnung (?)

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Ja, habe ich gemacht. Einen Ansatz habe ich dafurch schon gefunden, nur reicht es nicht ganz für die Lösung 

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Bedenke, dass bei "Zeigen Sie, dass…" nicht exakt 

(n+1,n) 

herauskommen muss, wenn du das "Produkt" ausrechnest. 

Es sollte genügen, wenn dein Resultat der Verknüpfung äquivalent ist zu (n+1,n). 

D.h. noch a+d = b+c kontrollieren. 

Answer 1

Ordne zu, welche Terme aus der linken Seite der Gleichung im zweiten Bild den a, b, c und d der linken Seite der Gleichung im ersten Bild entsprechen.

Setze die entsprechende Terme in die rechte Seite der Gleichung im ersten Bild ein. Forme um bis die rechte Seite der Gleichung im zweiten Bild entsteht.

Comments

Ja, so habe ich das auch angefangen. Vielen Dank für die Erklärung! Allerdings komme ich aus für mich unerklärlichen Gründen nicht auf (n+1), n 

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Es könnte sein, dass du dich verrechnet hast.

Es könnte auch sein, dass du einfach noch nicht viel genug umgeformt hast. Insbesondere da es sich ja um Restklassen handelt, ist das leicht möglich. Zum Beispiel darfst du den Repräsentanten der Äquivalenzklasse, der auf der rechten Seite in den eckigen Klammern steht, durch jeden anderen Repräsentanten der Äquivalenzklasse ersetzen.

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Ich habe jetzt dastehen:

[( n^2 + (n+1)(n+1), n(n+1) + (n+1)n)]R=

 [(n^2 + n^2 + 2n + 2, (n^2 + n)+ (n^2 + n))]R =

Und jetzt fehlt mir komplett der blitzgedanke wie es weitergeht :/

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> [( n² + (n+1)(n+1), n(n+1) + (n+1)n)]R

Das ist noch richtig. Ausmultiplizieren liefert aber

        [(2n² + 2n + 1, 2n² + 2n)]_R

Wie du siehst, hat der Repräsentant die Form (m+1, m) mit m = 2n² + 2n.

Es stellt sich dann die Frage, ob (m+1, m) in der Äquivalenzklasse [(n+1, n)]_R liegt. Das kann man prüfen indem man in die Definition der Äquivalenzklasse R einsetzt:

        ((m+1, m), (n+1,n)) ∈ R

      ⇔ (m+1) + n = m + (n+1).

Wegen Kommutativ- und Assoziativgesetz der natürlichen Zahlen (die habt ihr schon bewiesen oder?) ist diese Gleichung allgemeingültig. Also ist 

        (m+1, m) ∈ [(n+1, n)]_R

und somit

        [(m+1, m)]_R = [(n+1, n)]_R.

Es ist also auch

       [(2n² + 2n + 1, 2n² + 2n)]_R = [(n+1, n)]_R.

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Vielen Dank für deine Hilfe!!