Dimension und Basis bestimmen. Paar Fragen

Question

hätte paar kleine Fragen zu meinen Aufgaben.ist dim(U)=1 ?? Die Basis wäre doch (1,2,3,4) ?dim(W)= 4 ? Wie würde ich hier die Basis ausrechnen ?

Answer 1

.ist dim(U)=1 ?? Die Basis wäre doch (1,2,3,4) ?   NEIN!!!

Du kannst von deinen 4 Variablen 3 beliebig wählen , etwa a2=s   a3=t    a4=u  und

hast dann a1 =  -2s  +3t    -4u 

Also sehen die Elemente von U alle so aus ( mit s,t,u aus Q )

(   -2s  +3t    -4u  ; s  ;   t ;    u ) 

= s*(-2 ; 1 ; 0 ; 0 ) + t * ( 3 ; 0 ; 1 ; 0 ) + u * ( -4 ; 0 ; 0 ; 1 ) 

Also dim=3 und Basis z.B.

(-2 ; 1 ; 0 ; 0 )   ,     ( 3 ; 0 ; 1 ; 0 )   ,  ( -4 ; 0 ; 0 ; 1 ) 

Bei W schauen, ob die drei lin. unabh. sind.   Sind sie nicht, wohl

aber die ersten 2. Sie bilden also eine Basis von W , also dim=2